Задача № 216979
Найдите все пары простых чисел p и q, обладающие следующим свойством: 7p + 1 делится на q, а 7q + 1 делится на p.
Горяшин Д.В. — олимпиадные задачи по математике для 4-8 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216977
Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов. Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.
Задача № 167464
Кусок сыра массой 1 кг разрезали на кусков массами меньше 600 г. Оказалось, что их нельзя разбить на две кучки так, чтобы масса каждой кучки была не меньше 400 г, но не больше 600 г (кучка может состоять из одного или нескольких кусков). Докажите, что найдутся три таких куска, что суммарная масса любых двух из них больше 600 г.
Задача № 167321
Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции ?
Задача № 167033
Некоторые неотрицательные числа , , удовлетворяют равенству . Докажите, что .
Задача № 166486
Существуют ли такое натуральное и такой многочлен степени , имеющий различных действительных корней, что при всех действительных выполнено равенство а) ; б) ?