Задача № 216979
Найдите все пары простых чисел p и q, обладающие следующим свойством: 7p + 1 делится на q, а 7q + 1 делится на p.
Горяшин Д.В. — олимпиадные задачи по математике для 4-10 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216977
Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов. Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.
Задача № 216374
Сравните числа
Задача № 167464
Кусок сыра массой 1 кг разрезали на кусков массами меньше 600 г. Оказалось, что их нельзя разбить на две кучки так, чтобы масса каждой кучки была не меньше 400 г, но не больше 600 г (кучка может состоять из одного или нескольких кусков). Докажите, что найдутся три таких куска, что суммарная масса любых двух из них больше 600 г.
Задача № 167321
Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции ?
Задача № 167033
Некоторые неотрицательные числа , , удовлетворяют равенству . Докажите, что .
Задача № 166613
Пользуясь равенством , найдите наименьшее число , для которого среди -значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.
Задача № 166611
Докажите, что для любых различных натуральных чисел и справедливо неравенство .
Задача № 166596
Существует ли функция , определенная на отрезке , которая при всех действительных удовлетворяет равенству
Задача № 166486
Существуют ли такое натуральное и такой многочлен степени , имеющий различных действительных корней, что при всех действительных выполнено равенство а) ; б) ?
Задача № 166094
Даны две непостоянные прогрессии (an) и (bn), одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что a1 = b1, a2 : b2 = 2 и a4 : b4 = 8. Чему может быть равно отношение a3 : b3?
Задача № 165683
Существует ли такое значение x, что выполняется равенство arcsin2x + arccos2x = 1?
Задача № 165208
Какое наибольшее количество множителей вида можно вычеркнуть в левой части уравнения так, чтобы число его натуральных корней не изменилось?
Задача № 164720
Найдите все значения a, для которых найдутся такие x, y и z, что числа cos x, cos y и cos z попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа cos(x + a), cos(y + a) и cos(z + a) также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.