Задача № 167208
Окружность касается боковых сторон трапеции в точках и , а её центр лежит на . Докажите, что диаметр окружности меньше средней линии трапеции.
Мухин Д.Г. — олимпиадные задачи по математике для 9-10 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 166580
Митя купил на день рождения круглый торт диаметром 36 сантиметров и 13 тоненьких свечек. Мите не нравится, когда свечки стоят слишком близко, поэтому он хочет поставить их на расстоянии не меньше 10 сантиметров друг от друга. Поместятся ли все свечки на торте?
Задача № 166408
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели биссектрисы AK и BN, на которые опустили перпендикуляры CD и CE из вершины прямого угла. Докажите, что длина отрезка DE равна радиусу вписанной окружности.
Задача № 166299
Четырёхугольник ABCD, в котором AB = BC и AD = CD, вписан в окружность. Точка M лежит на меньшей дуге CD этой окружности. Прямые BM и CD пересекаются в точке P, а прямые AM и BD – в точке Q. Докажите, что PQ || AC.
Задача № 165650
В выпуклой n-угольной призме равны все боковые грани. При каких n эта призма обязательно прямая?
Задача № 165369
Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что 2MN < AB.
Задача № 164335
Дан треугольник ABC. На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяты соответственно точки C1 и A1 так, что AC = A1C = AC1. Докажите, что описанные окружности треугольников ABA1 и CBC1 пересекаются на биссектрисе угла B.