Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором BC = a, AB = AC = b. На стороне AC во внешнюю сторону построен треугольник ADC, в котором AD = DC = a. Пусть CM и CN – биссектрисы в треугольниках ABC и ADC соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника CMN.
В треугольнике ABC O – центр описанной окружности, H – ортоцентр. Через середину OH параллельно BC проведена прямая, пересекающая стороны AB и AC в точках D и E. Оказалось, что O – центр вписанной окружности треугольника ADE. Найдите углы треугольника ABC.
Докажите, что для любого неравнобедренного треугольника , где l1, l2 – наибольшая и наименьшая биссектрисы треугольника, S – его площадь.
В треугольнике ABC середины сторон AC, BC, вершина C и точка пересечения медиан лежат на одной окружности. Докажите, что она касается окружности, проходящей через вершины A, B и ортоцентр треугольника ABC.
Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q. Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.