Бакаев Е.В. — олимпиадные задачи по математике

Два равных треугольника расположены внутри квадрата, как показано на рисунке. Найдите их углы. <img align="center" src="/storage/problem-media/66515/problem_66515_img_2.png">

Вокруг круглого озера через равные промежутки растут 2019 деревьев: 1009 сосен и 1010 ёлок. Докажите, что обязательно найдется дерево, рядом с которым растёт сосна и с другой стороны от которого через одно дерево тоже растёт сосна.

Сеня не умеет писать некоторые буквы и всегда в них ошибается. В слове ТЕТРАЭДР он сделал бы пять ошибок, в слове ДОДЕКАЭДР – шесть, а в слове ИКОСАЭДР – семь. А сколько ошибок он сделает в слове ОКТАЭДР?

Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, $AH$ — его высота. Точка $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину отрезка $AB$.

В клетчатом квадрате со стороной 2018 часть клеток покрашены в белый цвет, остальные — в чёрный. Известно, что из этого квадрата можно вырезать квадрат $10\times 10$, все клетки которого белые, и квадрат $10\times 10$, все клетки которого чёрные. При каком наименьшем $d$ можно гарантировать, что из него можно вырезать квадрат $10\times 10$, в котором количество чёрных и белых клеток отличается не больше чем на $d$?

Андрей Степанович каждый день выпивает столько капель валерьянки, сколько в этом месяце уже было солнечных дней (включая текущий день). Иван Петрович каждый пасмурный день выпивает количество капель валерьянки, равное номеру дня в месяце, а в солнечные дни не пьет. Докажите, что если в апреле ровно половина дней будет пасмурные, а другая половина – солнечные, то Андрей Степанович и Иван Петрович выпьют за месяц поровну валерьянки.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> отмечена точка <i>K</i>. Точка <i>M</i> – середина <i>BC</i>, точка <i>P</i> – середина <i>KM</i>. Докажите, что если ∠<i>APB</i> = ∠<i>CPD</i> = 90°, то <i>AK = DK</i>.

Разрежьте каждый из равносторонних треугольников со сторонами 2 и 3 на три части и сложите из всех полученных частей равносторонний треугольник.

Незнайка выписал семь двузначных чисел в порядке возрастания. Затем одинаковые цифры заменил одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось вот что: ХА, АЙ, АХ, ОЙ, ЭМ, ЭЙ, МУ. Докажите, что Незнайка что-то перепутал.

Дан правильный шестиугольник с центром $O$. Провели шесть равных окружностей с центрами в вершинах шестиугольника так, что точка $O$ находится внутри окружностей. Угол величины α с вершиной $O$ высекает на этих окружностях шесть дуг. Докажите, что суммарная величина этих дуг равна 6α.

Даны две монеты радиуса 1 см, две монеты радиуса 2 см и две монеты радиуса 3 см. Можно положить две из них на стол так, чтобы они касались друг друга, и добавлять монеты по одной так, чтобы очередная касалась хотя бы двух уже лежащих. Новую монету нельзя класть на старую. Можно ли положить несколько монет так, чтобы центры каких-то трёх монет оказались на одной прямой?

На плоскости даны два правильных тринадцатиугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₃ и <i>B</i>₁<i>B</i>₂...<i>B</i>₁₃, причём точки <i>B</i>₁ и <i>A</i>₁₃ совпадают и лежат на отрезке <i>A</i>₁<i>B</i>₁₃, а многоугольники лежат по одну сторону от этого отрезка. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₉, <i>B</i>₁₃<i>B</i><sub>...

Дан квадрат <i>ABCD</i>. Первая окружность касается сторон угла <i>A</i>, вторая – сторон угла <i>B</i>, причём сумма диаметров окружностей равна стороне квадрата. Докажите, что одна из общих касательных этих окружностей пересекает сторону <i>AB</i> в её середине.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 60°,  точки <i>M</i> и <i>N</i> на сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно таковы, что центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> делит отрезок <i>MN</i> пополам. Найдите отношение  <i>AN</i> : <i>MB</i>.

Описанная окружность треугольника <i>ABC</i> пересекает стороны <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Пусть <i>M</i> – середина дуги <i>KL</i>, не содержащей точку <i>B</i>. Докажите, что  <i>DM</i> ⊥ <i>AC</i>.

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i> так, что  <i>AB = CK</i>.  Точки <i>N</i> и <i>M</i> – середины отрезков <i>AK</i> и <i>BC</i> соответственно. Отрезки <i>NM</i> и <i>CK</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что  <i>KN = KP</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> c углом <i>A</i>, равным 45°, проведена медиана <i>AM</i>. Прямая <i>b</i> симметрична прямой <i>AM</i> относительно высоты <i>BB</i>₁, а прямая <i>c</i> симметрична прямой <i>AM</i> относительно высоты <i>CC</i>₁. Прямые <i>b</i> и <i>c</i> пересеклись в точке <i>X</i>. Докажите, что  <i>AX = BC</i>.

Петя раскрасил каждую клетку квадрата 1000×1000 в один из 10 цветов. Также он придумал такой 10-клеточный многоугольник Ф, что при любом способе положить его по границам клеток на раскрашенный квадрат, все 10 накрытых им клеток будут разного цвета. Обязательно ли Ф – прямоугольник?

Кузнечик умеет прыгать по полоске из <i>n</i> клеток на 8, 9 и 10 клеток в любую сторону. Будем называть натуральное число <i>n пропрыгиваемым</i>, если кузнечик может, начав с некоторой клетки, обойти всю полоску, побывав на каждой клетке ровно один раз. Найдите хотя бы одно  <i>n</i> > 50,  которое не является пропрыгиваемым.

По кругу стоят 10 детей разного роста. Время от времени один из них перебегает на другое место (между какими-то двумя детьми). Дети хотят как можно скорее встать по росту в порядке возрастания по часовой стрелке (от самого низкого к самому высокому). Какого наименьшего количества таких перебежек им заведомо хватит, как бы они ни стояли изначально?

В каждую клетку квадрата 1000×1000 вписано число так, что в любом не выходящем за пределы квадрата прямоугольнике площади <i>s</i> со сторонами, проходящими по границам клеток, сумма чисел одна и та же. При каких <i>s</i> числа во всех клетках обязательно будут одинаковы?

Даны две концентрические окружности и точка <i>A</i> внутри меньшей из них. Угол величиной α с вершиной в <i>A</i> высекает на этих окружностях по дуге. Докажите, что если дуга большей окружности имеет угловой размер α, то и дуга меньшей имеет угловой размер α.

а) На каждой стороне десятиугольника (не обязательно выпуклого) как на диаметре построили окружность. Может ли оказаться, что все эти окружности имеют общую точку, не совпадающую ни с одной вершиной десятиугольника?

б) Решите ту же задачу для одиннадцатиугольника.

Замените в выражении  <i>AB^C = DE^F</i>  буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным, использовав каждую цифру от 1 до 6 ровно один раз.

(<i>AB^C</i> – двузначное число из цифр <i>A</i> и <i>B</i>, возведённое в степень <i>C</i>. Достаточно привести один способ замены.)

У Вики есть четыре фигурки, у Алины есть квадрат, а у Полины есть квадрат другого размера. Объединившись, Алина и Вика могут сложить квадрат, используя все свои пять фигурок. Может ли оказаться так, что Полина и Вика также смогут сложить квадрат, используя все свои пять фигурок? (Квадраты складываются без просветов и наложений.)