Бакаев Е.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3-4 с решениями
По кругу стоят 10 детей разного роста. Время от времени один из них перебегает на другое место (между какими-то двумя детьми). Дети хотят как можно скорее встать по росту в порядке возрастания по часовой стрелке (от самого низкого к самому высокому). Какого наименьшего количества таких перебежек им заведомо хватит, как бы они ни стояли изначально?
Даны две концентрические окружности и точка <i>A</i> внутри меньшей из них. Угол величиной α с вершиной в <i>A</i> высекает на этих окружностях по дуге. Докажите, что если дуга большей окружности имеет угловой размер α, то и дуга меньшей имеет угловой размер α.
У Вики есть четыре фигурки, у Алины есть квадрат, а у Полины есть квадрат другого размера. Объединившись, Алина и Вика могут сложить квадрат, используя все свои пять фигурок. Может ли оказаться так, что Полина и Вика также смогут сложить квадрат, используя все свои пять фигурок? (Квадраты складываются без просветов и наложений.)
Разрежьте фигуру на двенадцать одинаковых частей. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65975/problem_65975_img_2.gif"></div>
Произвольный треугольник разрезали на равные треугольники прямыми, параллельными сторонам (как показано на рисунке).
Докажите, что ортоцентры шести закрашенных треугольников лежат на одной окружности. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65872/problem_65872_img_2.gif"></div>
Петя нарисовал многоугольник площадью 100 клеток, проводя границы по линиям квадратной сетки. Он проверил, что его можно разрезать по границам клеток и на два равных многоугольника, и на 25 равных многоугольников. Обязательно ли тогда его можно разрезать по границам клеток и на 50 равных многоугольников?
На прямой отмечено 100 точек, и ещё одна точка отмечена вне прямой. Рассмотрим все треугольники с вершинами в этих точках.
Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными?
Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>, в котором ∠<i>DAB</i> = 90°. Пусть <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>. Оказалось. что ∠<i>ADC</i> = ∠<i>BAM</i>.
Докажите, что ∠<i>ADB</i> = ∠<i>CAM</i>.
В белой таблице 2016×2016 некоторые клетки окрасили чёрным. Назовём натуральное число <i>k удачным</i>, если <i>k</i> ≤ 2016, и в каждом из клетчатых квадратов со стороной <i>k</i>, расположенных в таблице, окрашено ровно <i>k</i> клеток. (Например, если все клетки чёрные, то удачным является только число 1.) Какое наибольшее количество чисел могут быть удачными?
Точка <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная стороне <i>AC</i>, пересекает сторону <i>BC</i> и прямую <i>AB</i> в точках <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно. Докажите, что точки <i>B, O</i> и середины отрезков <i>AP</i> и <i>CQ</i> лежат на одной окружности.
Даны равнобедренный прямоугольный треугольник <i>ABC</i> и прямоугольный треугольник <i>ABD</i> с общей гипотенузой <i>AB</i> (<i>D</i> и <i>C</i> лежат по одну сторону от прямой <i>AB</i>). Пусть <i>DK</i> – биссектриса треугольника <i>ABD</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ACK</i> лежит на прямой <i>AD</i>.
В стране 100 городов, между каждыми двумя городами осуществляется беспосадочный перелёт. Все рейсы платные и стоят положительное (возможно, нецелое) число тугриков. Для любой пары городов А и Б перелёт из А в Б стоит столько же, сколько перелёт из Б в А. Средняя стоимость перелёта равна 1 тугрику. Путешественник хочет облететь какие-нибудь <i>m</i> разных городов за <i>m</i> перелётов, начав и закончив в своём родном городе. Всегда ли ему удастся совершить такое путешествие, потратив на билеты не более <i>m</i> тугриков, если
а) <i>m</i> = 99;
б) <i>m</i> = 100?
На катетах <i>AC</i> и <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно, а на гипотенузе <i>AB</i> – точку <i>M</i> так, что <i>AK = BL = a,
KM = LM = b</i> и угол <i>KML</i> прямой. Докажите, что <i>a = b</i>.
Трое играют в "камень-ножницы-бумагу". В каждом раунде каждый наугад показывает "камень", "ножницы" или "бумагу". "Камень" побеждает "ножницы", "ножницы" побеждают "бумагу", "бумага" побеждает "камень". Если в раунде было показано ровно два различных элемента (и значит, один из них показали дважды), то игроки (или игрок), показавшие победивший элемент, получают по 1 баллу; иначе баллы никому не начисляются. После нескольких раундов оказалось, что все элементы были показаны одинаковое количество раз. Докажите, что в этот момент сумма набранных всеми баллов делилась на 3.
Каждый день Фрёкен Бок испекает квадратный торт размером 3×3. Карлсон немедленно вырезает себе из него четыре квадратных куска размером 1×1 со сторонами, параллельными сторонам торта (не обязательно по линиям сетки 3×3). После этого Малыш вырезает себе из оставшейся части торта квадратный кусок со сторонами, также параллельными сторонам торта. На какой наибольший кусок торта может рассчитывать Малыш вне зависимости от действий Карлсона?
Каждая сторона некоторого многоугольника обладает таким свойством: на прямой, содержащей эту сторону, лежит ещё хотя бы одна вершина многоугольника. Может ли число вершин этого многоугольника
а) не превосходить девяти;
б) не превосходить восьми?
а) Натуральные числа <i>x, x</i>² и <i>x</i>³ начинаются с одной и той же цифры. Обязательно ли эта цифра – единица?
б) Тот же вопрос для натуральных чисел <i>x, x</i>², <i>x</i>³, ..., <i>x</i><sup>2015</sup>.
Точки <i>K</i> и <i>L</i> делят медиану <i>AM</i> треугольника <i>ABC</i> на три равные части, точка <i>K</i> лежит между <i>L</i> и . Отметили точку <i>P</i> так, что треугольники <i>KPL</i> и <i>ABC</i> подобны, причём <i>P</i> и <i>C</i> лежат в одной полуплоскости относительно прямой <i>AM</i>. Докажите, что <i>P</i> лежит на прямой <i>AC</i>.
Петя записал 25 чисел в клетки квадрата 5×5. Известно, что их сумма равна 500. Вася может попросить его назвать сумму чисел в любой клетке и всех её соседях по стороне. Может ли Вася за несколько таких вопросов узнать, какое число записано в центральной клетке?
Внутри прямоугольного треугольника построили две равные окружности так, что первая касается одного из катетов и гипотенузы, вторая касается другого катета и гипотенузы, а ещё эти окружности касаются друг друга. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – точки касания окружностей с гипотенузой. Докажите, что середина отрезка <i>MN</i> лежит на биссектрисе прямого угла треугольника.
На кольцевой дороге через равные промежутки расположены 25 постов, на каждом стоит полицейский. Полицейские пронумерованы в каком-то порядке числами от 1 до 25. Требуется, чтобы они перешли по дороге так, чтобы снова на каждом посту был полицейский, но по часовой стрелке за номером 1 стоял номер 2, за номером 2 стоял номер 3, ..., за номером 25 стоял номер 1. Докажите, что если организовать переход так, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим, то кто-то из полицейских останется на своём посту.
На столе лежала кучка серебряных монет. Каждым действием либо добавляли одну золотую монету и записывали количество серебряных монет на первый листок, либо убирали одну серебряную монету и записывали количество золотых монет на второй листок. В итоге на столе остались только золотые монеты. Докажите, что в этот момент сумма всех чисел на первом листке равнялась сумме всех чисел на втором.
Даны <i>N</i> прямоугольных треугольников (<i>N</i> > 1). У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что все исходные треугольники подобны.
Даны <i>N</i> прямоугольных треугольников. У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что у всех исходных треугольников одно и то же отношение большего катета к меньшему, если
а) <i>N</i> = 2;
б) <i>N</i> – любое натуральное число, большее 1.
Правильный тетраэдр обладает таким свойством: для каждых двух его вершин найдётся третья вершина, образующая с этими двумя правильный треугольник. Существуют ли другие многогранники, обладающие этим свойством?