Бакаев Е.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями

Точка $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, $AH$ – его высота. Точка $P$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину стороны $AB$.

В квадрате $4\times4$ расставили целые числа так, что в каждом из восьми рядов (строках и столбцах) сумма чисел одна и та же. Семь чисел известны, а остальные скрыты (см. рисунок). <img src="/storage/problem-media/66692/problem_66692_img_2.png"> Можно ли по имеющимся данным восстановить

  а) хотя бы одно скрытое число;

  б) хотя бы два скрытых числа?

На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отметили точку $K$, а на катете $AC$ – точку $L$ так, что  $AK = AC,  BK = LC$.  Отрезки $BL$ и $CK$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что треугольник $CLM$ равнобедренный.

В доме $8N$ этажей. В подъезде два лифта, в каждом из которых кнопки расположены в виде прямоугольника $N\times 8$ ($N$ строк, 8 столбцов), но пронумерованы по-разному: в одном «слева направо, снизу вверх», а в другом «снизу вверх, слева направо» (пример для $N=3$ см. на рисунке). Даня нажимает кнопку своего этажа, не глядя на нумерацию, потому что эта кнопка в обоих лифтах расположена на одном и том же месте. На каком этаже он может жить? (Например, для $N=3$ ответ 1 и 24. Требуется найти все возможные варианты в зависимости от $N$.) <table align="center" cellpadding="10"> <tr> <td> <table border="1" cellpadding="8"> <tr> <td> 17 </td> <td> 18 </td> <td> 19 </td> <td> 20 </...

Требуется разделить криволинейный треугольник на рисунке на 2 части одинаковой площади, проведя одну линию циркулем. Это можно сделать, выбрав в качестве центра одну из отмеченных точек и проводя дугу через другую отмеченную точку. Найдите способ это сделать и докажите, что он подходит. <img src="/storage/problem-media/66623/problem_66623_img_2.png">

Дан правильный треугольник ABC. На стороне AB отмечена точка K, на стороне BC — точки L и M (L лежит на отрезке BM) так, что KL = KM, BL = 2, AK = 3. Найдите CM.<img src="/storage/problem-media/66548/problem_66548_img_2.png">

Царь пообещал награду тому, кто сможет на каменистом пустыре посадить красивый фруктовый сад. Об этом узнали два брата. Старший смог выкопать 18 ям (см. рис. слева). Больше нигде не удалось, только все лопаты сломал. Царь рассердился и посадил его в темницу. Тогда младший брат Иван предложил разместить яблони, груши и сливы в вершинах равных треугольников (см. рис. справа), а остальные ямы засыпать.

<img src="/storage/problem-media/66544/problem_66544_img_2.png">

Царь ответил так:

— Хорошо, если деревьев каждого вида будет ровно по три и они будут расти в вершинах равных треугольников, выйдет красиво. Но три вида — слишком мало. Если кроме яблонь, груш и слив будут ещё и абрикосы — отпущу брата. Если добавишь пятый вид — черешню — заплачу за работу. Мне ещё миндаль нр...

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA'</i> и <i>BB'</i>. Точка <i>O</i> – центр окружности, описанной около треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что расстояние от точки <i>A'</i> до прямой <i>B'</i> равно расстоянию от точки <i>B'</i> до прямой <i>A'</i>.

Два равных треугольника расположены внутри квадрата, как показано на рисунке. Найдите их углы. <img align="center" src="/storage/problem-media/66515/problem_66515_img_2.png">

Сеня не умеет писать некоторые буквы и всегда в них ошибается. В слове ТЕТРАЭДР он сделал бы пять ошибок, в слове ДОДЕКАЭДР – шесть, а в слове ИКОСАЭДР – семь. А сколько ошибок он сделает в слове ОКТАЭДР?

Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, $AH$ — его высота. Точка $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину отрезка $AB$.

В клетчатом квадрате со стороной 2018 часть клеток покрашены в белый цвет, остальные — в чёрный. Известно, что из этого квадрата можно вырезать квадрат $10\times 10$, все клетки которого белые, и квадрат $10\times 10$, все клетки которого чёрные. При каком наименьшем $d$ можно гарантировать, что из него можно вырезать квадрат $10\times 10$, в котором количество чёрных и белых клеток отличается не больше чем на $d$?

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> отмечена точка <i>K</i>. Точка <i>M</i> – середина <i>BC</i>, точка <i>P</i> – середина <i>KM</i>. Докажите, что если ∠<i>APB</i> = ∠<i>CPD</i> = 90°, то <i>AK = DK</i>.

Незнайка выписал семь двузначных чисел в порядке возрастания. Затем одинаковые цифры заменил одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось вот что: ХА, АЙ, АХ, ОЙ, ЭМ, ЭЙ, МУ. Докажите, что Незнайка что-то перепутал.

Дан правильный шестиугольник с центром $O$. Провели шесть равных окружностей с центрами в вершинах шестиугольника так, что точка $O$ находится внутри окружностей. Угол величины α с вершиной $O$ высекает на этих окружностях шесть дуг. Докажите, что суммарная величина этих дуг равна 6α.

Даны две монеты радиуса 1 см, две монеты радиуса 2 см и две монеты радиуса 3 см. Можно положить две из них на стол так, чтобы они касались друг друга, и добавлять монеты по одной так, чтобы очередная касалась хотя бы двух уже лежащих. Новую монету нельзя класть на старую. Можно ли положить несколько монет так, чтобы центры каких-то трёх монет оказались на одной прямой?

Дан квадрат <i>ABCD</i>. Первая окружность касается сторон угла <i>A</i>, вторая – сторон угла <i>B</i>, причём сумма диаметров окружностей равна стороне квадрата. Докажите, что одна из общих касательных этих окружностей пересекает сторону <i>AB</i> в её середине.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 60°,  точки <i>M</i> и <i>N</i> на сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно таковы, что центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> делит отрезок <i>MN</i> пополам. Найдите отношение  <i>AN</i> : <i>MB</i>.

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i> так, что  <i>AB = CK</i>.  Точки <i>N</i> и <i>M</i> – середины отрезков <i>AK</i> и <i>BC</i> соответственно. Отрезки <i>NM</i> и <i>CK</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что  <i>KN = KP</i>.

В каждую клетку квадрата 1000×1000 вписано число так, что в любом не выходящем за пределы квадрата прямоугольнике площади <i>s</i> со сторонами, проходящими по границам клеток, сумма чисел одна и та же. При каких <i>s</i> числа во всех клетках обязательно будут одинаковы?

а) На каждой стороне десятиугольника (не обязательно выпуклого) как на диаметре построили окружность. Может ли оказаться, что все эти окружности имеют общую точку, не совпадающую ни с одной вершиной десятиугольника?

б) Решите ту же задачу для одиннадцатиугольника.

Замените в выражении  <i>AB^C = DE^F</i>  буквы цифрами так, чтобы равенство стало верным, использовав каждую цифру от 1 до 6 ровно один раз.

(<i>AB^C</i> – двузначное число из цифр <i>A</i> и <i>B</i>, возведённое в степень <i>C</i>. Достаточно привести один способ замены.)

Дан квадрат <i>ABCD</i>. На продолжении диагонали <i>AC</i> за точку <i>C</i> отмечена такая точка <i>K</i>, что  <i>BK = AC</i>.  Найдите угол <i>BKC</i>.

В выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и перпендикулярны, а две другие равны <i>a</i> и <i>b</i>. Найдите его площадь.

Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две равные части. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65925/problem_65925_img_2.gif"></div>