Бакаев Е.В. — олимпиадные задачи по математике для 2-7 класса

У каждого из художников творческого объединения "Терпение и труд" свой рабочий график. Шестеро из них пишут по одной картине раз в два дня, ещё восемь художников – по одной картине раз в три дня, остальные не пишут картин никогда. С 22 по 26 сентября они написали в общей сложности 30 картин. Сколько картин они напишут 27 сентября?

На верхней грани кубика 3×3×3 к центральному квадрату 1×1 приклеили кубик 1×1×1. Как разделить получившуюся фигуру на 7 равных?

На какое наименьшее количество квадратов можно разрезать лесенку из 15 ступеней (см. рисунок)? Резать можно только по границам клеток. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65152/problem_65152_img_2.gif"></div>

Можно ли раскрасить грани куба в три цвета так, чтобы каждый цвет присутствовал, но нельзя было увидеть одновременно грани всех трёх цветов, откуда бы мы ни взглянули на куб? (Одновременно можно увидеть только три любые грани, имеющие общую вершину.)

На сетке из равносторонних треугольников построен угол <i>ACB</i> (см. рисунок). Найдите его величину.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65147/problem_65147_img_2.png"></div>

Петя записал 25 чисел в клетки квадрата 5×5. Известно, что их сумма равна 500. Вася может попросить его назвать сумму чисел в любой клетке и всех её соседях по стороне. Может ли Вася за несколько таких вопросов узнать, какое число записано в центральной клетке?

Смешарики живут на берегах пруда в форме равностороннего треугольника со стороной 600 м. Крош и Бараш живут на одном берегу в 300 м друг от друга. Летом Лосяшу до Кроша идти 900 м, Барашу до Нюши – тоже 900 м. Докажите, что зимой, когда пруд замёрзнет и можно будет ходить прямо по льду, Лосяшу до Кроша снова будет идти столько же метров, сколько Барашу до Нюши.

Во дворе, где проходят четыре пересекающиеся тропинки, растёт одна яблоня (см. план). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65106/problem_65106_img_2.gif"></div>Посадите ещё три яблони так, чтобы по обе стороны от каждой тропинки было поровну яблонь.

Разрежьте нарисованный шестиугольник на четыре одинаковые фигуры. Резать можно только по линиям сетки.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65103/problem_65103_img_2.gif"></div>

Математик с пятью детьми зашёл в пиццерию.

  <i>Маша</i>: Мне с помидорами и чтоб без колбасы.

  <i>Ваня</i>: А мне с грибами.

  <i>Даша</i>: Я буду без помидоров.

  <i>Никита</i>: А я с помидорами. Но без грибов!

  <i>Игорь</i>: И я без грибов. Зато с колбасой!

  <i>Папа</i>: Да, с такими привередами одной пиццей явно не обойдёшься...

Сможет ли математик заказать две пиццы и угостить каждого рeбенка такой, какую тот просил, или все же придется три пиццы заказывать?

Через двор проходят четыре пересекающиеся тропинки (см. план). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65100/problem_65100_img_2.gif"></div>Посадите четыре яблони так, чтобы по обе стороны от каждой тропинки было поровну яблонь.

С начала учебного года Андрей записывал свои оценки по математике. Получая очередную оценку (2, 3, 4 или 5), он называл её <i>неожиданной</i>, если до этого момента она встречалась реже каждой из всех остальных возможных оценок. (Например, если бы он получил с начала года подряд оценки 3, 4, 2, 5, 5, 5, 2, 3, 4, 3, то неожиданными были бы первая пятерка и вторая четвёрка.) За весь учебный год Андрей получил 40 оценок – по 10 пятерок, четвёрок, троек и двоек (неизвестно, в каком порядке). Можно ли точно сказать, сколько оценок были для него неожиданными?

Есть 99 палочек с длинами 1, 2, 3, ..., 99. Можно ли из них сложить контур какого-нибудь прямоугольника?

Лесник считал сосны в лесу. Он обошёл 5 кругов, изображённых на рисунке, и внутри каждого круга насчитал ровно 3 сосны.

Может ли быть, что лесник ни разу не ошибся? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64816/problem_64816_img_2.gif"></div>

Когда в Братске полдень – в Гусеве 6 часов утра, а в Комсомольске-на-Амуре 14 часов. А когда в Златоусте полдень – в Елизово 18 часов, а в Гусеве 9 часов утра. Который час в Комсомольске-на-Амуре, когда в Елизово полдень?

Впишите в пять кружков натуральные числа так, чтобы выполнялись два условия:

  - если два кружка соединены линией, то стоящие в них числа должны отличаться ровно в два или ровно в четыре раза;

  - если два кружка не соединены линией, то отношение стоящих в них чисел не должно быть равно ни 2, ни 4.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64693/problem_64693_img_2.gif"></div>

Незнайка рисует замкнутые пути внутри прямоугольника 5×8, идущие по диагоналям прямоугольников 1×2. На рисунке изображён пример пути, проходящего по 12 таким диагоналям. Помогите Незнайке нарисовать путь как можно длиннее.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64578/problem_64578_img_2.gif"></div>

Два одинаковых прямоугольных треугольника из бумаги удалось положить один на другой так, как показано на рисунке (при этом вершина прямого угла одного попала на сторону другого). Докажите, что заштрихованный треугольник равносторонний.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64575/problem_64575_img_2.gif"></div>