Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник. На продолжении гипотенузы AB за точку A взята точка D так, что AB = 2AD. Точки M и N на стороне AC таковы, что AM = NC. На продолжении стороны CB за точку B взята такая точка K, что CN = BK. Найдите угол между прямыми NK и DM.
В окружности , описанной около треугольника , хорда проходит через середину отрезка и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки и и пересекает отрезок в точках и ( лежит на отрезке ). Пусть пересекает описанную окружность треугольника в точке . Докажите, что четырехугольник вписанный.
На стороне AB четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что четырёхугольники AMCD и BMDC описаны около окружностей с центрами O1 и O2 соответственно. Прямая O1O2 отсекает от угла CMD равнобедренный треугольник с вершиной M. Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.
В угол вписаны непересекающиеся окружности ω1 и ω2. Рассмотрим все такие пары параллельных прямых l1 и l2, что l1 касается ω1, l2 касается ω2 (ω1, ω2 находятся между l1 и l2). Докажите, что средние линии всех трапеций, образованных прямыми l1, l2 и сторонами данного угла, касаются фиксированной окружности.