Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Нарисован угол, и ещё имеется только циркуль. а) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым? б) Как определить, равен ли данный угол 31° (разрешается проводить сколько угодно окружностей)?
Дан остроугольный треугольник ABC; AA1, BB1 – его высоты. Из точки A1 опустили перпендикуляры на прямые AC и AB, а из точки B1 опустили перпендикуляры на прямые BC и BA. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.
На плоскости дана прямая. С помощью пятака постройте две точки какой-нибудь прямой, перпендикулярной данной. Разрешаются такие операции: отметить точку, приложить пятак к ней и обвести его; отметить две точки (на расстоянии меньше диаметра пятака), приложить пятак к ним и обвести его. Нет возможности прикладывать пятак к прямой так, чтобы она его касалась.
В треугольнике угол равен , , , – биссектрисы. Докажите, что .