Задача № 166654
На окружности, описанной около четырехугольника , отмечены точки и – середины дуг и соответственно. Докажите, что делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей треугольников и .
Фельдман Г. — олимпиадные задачи по математике для 10 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 165048
Из вершины C треугольника ABC проведены касательные CX, CY к окружности, проходящей через середины сторон треугольника. Докажите, что прямые XY, AB и касательная в точке C к описанной окружности треугольника ABC, пересекаются в одной точке.
Задача № 164988
В остроугольном треугольнике ABC O – центр описанной окружности, A1, B1, C1 – основания высот. На прямых OA1, OB1, OC1 нашли такие точки A', B', C' соответственно, что четырёхугольники AOBC', BOCA', COAB' вписанные. Докажите, что описанные окружности треугольников AA1A', BB1B', CC1C', имеют общую точку.
Задача № 164922
В треугольнике ABC на стороне AB отметили точку D. Пусть ω1 и Ω1, ω2 и Ω2 – соответственно вписанные и вневписанные (касающиеся AB во внутренней точке) окружности треугольников ACD и BCD. Докажите, что общие внешние касательные к ω1 и ω2, Ω1 и Ω2 пересекаются на прямой AB.