Ивлев Ф. — олимпиадные задачи по математике для 2-10 класса
Дан треугольник <i>ABC</i>. Проведены высота <i>AH</i> и медиана <i>CM</i>. Обозначим точку их пересечения через <i>P</i>. Высота, проведённая из вершины <i>B</i> треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки <i>H</i> на прямую <i>CM</i>, в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямые <i>CQ</i> и <i>BP</i> перпендикулярны.
Вписанная окружность остроугольного треугольника <i>ABC</i> касается его сторон <i>AB, BC, CA</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> соответственно. Пусть <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> – середины отрезков <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> соответственно, <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC, P</i> – одна из точек пересечения прямой <i>CO</i> с вписанной окружностью. Прямые <i>PA</i><s...
Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>M</i> – середина гипотенузы <i>AB, O</i> – центр описанной окружности ω треугольника <i>CMB</i>. Прямая <i>AC</i> вторично пересекает окружность ω в точке <i>K</i>. Прямая <i>KO</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что прямые <i>AL</i> и <i>KM</i> пересекаются на описанной окружности треугольника <i>ACM</i>.
Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>. На отрезках <i>AM</i> и <i>CM</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно таким образом, что <i>PQ = <sup>AC</sup></i>/<sub>2</sub>. Описанная окружность треугольника <i>ABQ</i> второй раз пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>X</i>, а описанная окружность треугольника <i>BCP</i>, второй раз пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>Y</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>BXMY</i> – вписанный.
Вписанная в треугольник <i>ABC</i> окружность касается сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A', B', C'</i> соответственно. Перпендикуляр, опущенный из центра <i>I</i> этой окружности на медиану <i>CM</i>, пересекает прямую <i>A'B'</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что <i>CK || AB</i>.
Пусть <i>A</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> – точки касания вписанной окружности со сторонами <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно, а <i>A'</i> и <i>C'</i> – точки касания вневписанной окружности треугольника, вписанной в угол <i>B</i>, с продолжениями сторон <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно. Докажите, что ортоцентр <i>H</i> треугольника <i>ABC</i> лежит на <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> тогда и только тогда, когда прямые <i>A'C</i><sub>1</sub> и <i>BA</i> перпендикулярны.
Дан неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>O</i> – центр его описанной окружности, а точка <i>K</i> – центр описанной окружности ω треугольника <i>BCO</i>. Высота треугольника <i>ABC</i>, проведенная из точки <i>A</i>, пересекает окружность ω в точке <i>P</i>. Прямая <i>PK</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Докажите, что один из отрезков <i>EP</i> и <i>FP</i> равен отрезку <i>PA</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AP</i> и <i>BQ</i>, а также медиана <i>CM</i>. Точка <i>R</i> – середина <i>CM</i>. Прямая <i>PQ</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>T</i>. Докажите, что <i>OR</i>⊥<i>TC</i>, где <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Дан правильный 4<i>n</i>-угольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>4<i>n</i></sub> площади <i>S</i>, причём <i>n</i> > 1. Найдите площадь четырёхугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A<sub>n</sub>A</i><sub><i>n </i>+1</sub><i>A</i><sub><i>n</i>+2</sub>.