Блинков Ю.А. — олимпиадные задачи по математике

В треугольнике <i>ABC</i>:  ∠<i>C</i> = 60°,  ∠<i>A</i> = 45°.  Пусть <i>M</i> – середина <i>BC</i>, <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что прямая <i>MH</i> проходит через середину дуги <i>AB</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Петя вырезал из пластмассы неравносторонний треугольник. Покажите, каким образом можно, пользуясь только этим инструментом как шаблоном, построить биссектрису какого-нибудь угла треугольника, равного вырезанному.

Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный  (<i>AB = BC</i>).  Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AB</i>, точка <i>P</i> – середина отрезка <i>CM</i>, точка <i>N</i> делит сторону <i>BC</i> в отношении  3 : 1  (считая от вершины <i>B</i>). Докажите, что  <i>AP = MN</i>.