Задача № 216750
В выпуклом пятиугольнике ABCDE: ∠A = ∠C = 90°, AB = AE, BC = CD, AC = 1. Найдите площадь пятиугольника.
Блинков Ю.А. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3-4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216747
Дана окружность и хорда AB, отличная от диаметра. По большей дуге AB движется точка C. Окружность, проходящая через точки A, C и точку H пересечения высот треугольника ABC, повторно пересекает прямую BC в точке P. Докажите, что прямая PH проходит через фиксированную точку, не зависящую от положения точки C.
Задача № 216165
Пусть AA1, BB1 и CC1 – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника ABC; описанные окружности треугольников ABC и A1B1C, вторично пересекаются в точке P, Z – точка пересечения касательных к описанной окружности треугольника ABC, проведённых в точках A и B. Докажите, что прямые AP, BC и ZC1 пересекаются в одной точке.
Задача № 216089
К двум окружностям w1 и w2, пересекающимся в точках A и B, проведена их общая касательная CD (C и D – точки касания соответственно, точка B ближе к прямой CD, чем A). Прямая, проходящая через A, вторично пересекает w1 и w2 в точках и L соответственно (A лежит между K и L ). Прямые KC и LD пересекаются в точке P. Докажите, что PB – симедиана треугольника KPL (прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы).
Задача № 216070
На сторонах AB и CD квадрата ABCD взяты точки K и M соответственно, а на диагонали AC – точка L так, что ML = KL. Пусть P – точка пересечения отрезков MK и BD. Найдите угол KPL.
Задача № 167138
Казино предлагает игру по таким правилам. Игрок ставит любое целое число долларов (но не больше, чем у него в этот момент есть) либо на орла, либо на решку. Затем подбрасывается монета. Если игрок угадал, как она упадёт, он получает назад свою ставку и столько же денег впридачу. Если не угадал — его ставку забирает казино. Если игроку не повезёт четыре раза подряд, казино присуждает ему в следующей игре утешительную победу вне зависимости от того, как упадёт монета. Джо пришёл в казино со 100 долларами. Он обязался сделать ровно пять ставок и ни разу не ставить больше 17 долларов. Какую наибол...
Задача № 166406
Фиксированы окружность, описанная около остроугольного треугольника ABC, и вершина C. Ортоцентр H движется по окружности с центром в точке C. Найдите ГМТ середин отрезков, соединяющих основания высот, проведенных из вершин A и B.
Задача № 166142
Какое наибольшее количество граней n-угольной пирамиды может быть перпендикулярно основанию?
Задача № 166137
Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно четырёхугольника ABCD. Известно, что BC || AD и AN = CM. Верно ли, что ABCD – параллелограмм?
Задача № 165651
Из точки A к окружности ω проведена касательная AD и произвольная секущая, пересекающая окружность в точках B и C (B лежит между точками A и C). Докажите, что окружность, проходящая через точки C и D и касающаяся прямой BD, проходит через фиксированную точку (отличную от D).
Задача № 165232
O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Прямая, проходящая через C и точку, симметричную B относительно O, пересекает основание AD в точке K. Докажите, что SAOK = SAOB + SDOK.
Задача № 164336
В треугольнике ABC: ∠C = 60°, ∠A = 45°. Пусть M – середина BC, H – ортоцентр треугольника ABC. Докажите, что прямая MH проходит через середину дуги AB описанной окружности треугольника ABC.