Швецов Д.В. — олимпиадные задачи по математике

Окружность с центром <i>I</i> касается сторон <i>AB, BC, CA</i> треугольника <i>ABC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁. Прямые <i>AI, CI, B</i>₁<i>I</i> пересекают <i>A</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>X, Y, Z</i> соответственно. Докажите, что  ∠<i>YB</i>₁<i>Z</i> = ∠<i>XB</i>₁<i>Z</i>.

На окружности ω c центром <i>O</i> фиксированы точки <i>A</i> и <i>C</i>. Точка <i>B</i> движется по дуге <i>AC</i>. Точка <i>P</i> – фиксированная точка хорды <i>AC</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>AO</i>, пересекает прямую <i>BA</i> в точке <i>A</i>₁; прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>CO</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>C</i>₁. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ движется по прямой.

Окружности ω₁ и ω₂, касающиеся внешним образом в точке <i>L</i>, вписаны в угол <i>BAC</i>. Окружность ω₁ касается луча <i>AB</i> в точке <i>E</i>, а окружность ω₂ – луча <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Прямая <i>EL</i> пересекает повторно окружность ω₂ в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>MQ || AL</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>B</i> = 60°,  <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>BL</i> – биссектриса. Описанная окружность треугольника <i>BOL</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> вторично в точке <i>D</i>. Докажите, что  <i>BD</i> ⊥ <i>AC</i>.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i>, касается катетов <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>A</i>₁, а гипотенузы – в точке <i>C</i>₁. Прямые <i>C</i>₁<i>A</i>₁ и <i>C</i>₁<i>B</i>₁ пересекают <i>CA</i> и <i>CB</i> соответственно в точках <i>B</i>₀ и <i>A</i>₀. Докажите, что  <i>AB</i>₀ = <i>BA</i>₀.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°)  проведена высота <i>BH</i>. Окружность, вписанная в треугольник <i>ABH</i>, касается сторон <i>AB, AH</i> в точках <i>H</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник <i>CBH</i>, касается сторон <i>CB, CH</i> в точках <i>H</i>₂, <i>B</i>₂ соответственно. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>H</i>₁<i>BH</i>₂. Докажите, что  <i>OB</i>₁ = <i>OB</i...

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i>  (∠<i>ABC</i> = 90°),  касается сторон <i>AB, BC, AC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₂. <i>A</i>₀ – центр окружности, описанной около треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>B</i>₁; аналогично определяется точка <i>C</i>₀. Найдите угол <i>A</i>₀<i&...

Точки <i>M, N</i> – середины диагоналей <i>AC, BD</i> прямоугольной трапеции <i>ABCD</i>  (∠<i>A</i> = ∠<i>D</i> = 90°).  Описанные окружности треугольников <i>ABN, CDM</i> пересекают прямую <i>BC</i> в точках <i>Q, R</i>. Докажите, что точки <i>Q, R</i> равноудалены от середины отрезка <i>MN</i>.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается стороны <i>AB</i> в точке <i>C'</i>. Вписанная окружность треугольника <i>ACC'</i> касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>B</i>₁; Вписанная окружность треугольника <i>BCC'</i>, касается сторон <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>C</i>₂, <i>A</i>₂. Докажите, что прямые <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₂<i>C</i>₂ и <i>CC&#...

Пусть <i>BD</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Точки <i>I_a, I_c</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABD, CBD</i>. Прямая <i>I_aI_c</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что  ∠<i>DBQ</i> = 90°.

Диагонали <i>AC, BD</i> трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Описанные окружности треугольников <i>ABP, CDP</i> пересекают прямую <i>AD</i> в точках <i>X, Y</i>. Точка <i>M</i> – середина <i>XY</i>. Докажите, что  <i>BM = CM</i>.

Вневписанная окружность, соответствующая вершине <i>A</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°),  касается продолжений сторон <i>AB, AC</i> в точках <i>A</i>₁, <i>A</i>₂ соответственно; аналогично определим точки <i>C</i>₁, <i>C</i>₂. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A, B, C</i> на прямые <i>C</i>₁<i>C</i>₂, <i>A</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₁<i>A</i>₂ со...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром в точке <i>O</i>. Точки <i>E</i> и <i>F</i> – середины не содержащих других вершин дуг <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно. Прямые, проходящие через точки <i>E</i> и <i>F</i> параллельно диагоналям четырёхугольника <i>ABCD</i>, пересекаются в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что прямая <i>KL</i> содержит точку <i>O</i>.

Через вершину <i>B</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая <i>l</i>. Окружность ω_<i>a</i> с центром <i>I_a</i> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁ и прямых <i>l</i> и <i>AC</i>. Окружность ω_<i>c</i> с центром <i>I_c</i> касается стороны <i>BA</i> в точке <i>C</i>₁ и прямых <i>l</i> и <i>AC</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ лежит на прямой <i>I<sub&g...

Пятиугольник <i>ABCDE</i>, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>E</i>₁; продолжения сторон <i>BC</i> и <i>DE</i> – в точке <i>A</i>₁. Касательная, проведённая в точке <i>B</i> к описанной окружности треугольника <i>BE</i>₁<i>C</i>, пересекает ω в точке <i>B</i>₁; аналогично определяется точка <i>D</i>₁. Докажите, что  <i>B</i>₁<i>D</i>₁ || <i>AE</i>.

Две окружности с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Биссектриса угла <i>O</i>₁<i>AO</i>₂ повторно пересекает окружности в точках <i>C</i> и <i>D</i>.

Докажите, что центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>CBD</i> равноудалён от точек <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂.

Биссектрисы <i>AA</i>₁ и <i>CC</i>₁ прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°)  пересекаются в точке <i>I</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C</i>₁ и перпендикулярная прямой <i>AA</i>₁, пересекает прямую, проходящую через <i>A</i>₁ и перпендикулярную <i>CC</i>₁, в точке <i>K</i>. Докажите, что середина отрезка <i>KI</i> лежит на отрезке <i>AC</i>.