Швецов Д.В. — олимпиадные задачи по математике

Окружность $\omega_{1}$ проходит через центр $O$ окружности $\omega_{2}$ и пересекает ее в точках $A$ и $B$. Окружность $\omega_{3}$ с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ пересекает повторно окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ в точках $C$ и $D$ (отличных от $B$). Докажите, что точки $C$, $O$, $D$ лежат на одной прямой.

Высоты $AH$, $CH$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекают внутреннюю биссектрису угла $B$ в точках $L_1$, $P_1$, а внешнюю в точках $L_2$, $P_2$. Докажите, что ортоцентры треугольников $HL_1P_1$, $HL_2P_2$ и вершина $B$ лежат на одной прямой.

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. По дуге $AD$, не содержащей точек $B$ и $C$, движется точка $P$. Фиксированная прямая $l$, перпендикулярная прямой $BC$, пересекает лучи $BP$, $CP$ в точках $B_0$, $C_0$ соответственно. Докажите, что касательная, проведенная к описанной окружности треугольника $PB_0C_0$ в точке $P$, проходит через фиксированную точку.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Пусть <i>CD</i> – их общая касательная (<i>C</i> и <i>D</i> – точки касания), а <i>O_a, O_b</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>CAD, CBD</i> соответственно. Докажите, что середина отрезка <i>O_aO_b</i> лежит на прямой <i>AB</i>.

Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника <i>BOC</i> в точке <i>O</i>, пересекает луч <i>CB</i> в точке <i>F</i>. Описанная окружность треугольника <i>FOD</i> повторно пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>G</i>. Докажите, что  <i>AG = AB</i>.

Высоты <i>AA</i>₁, <i>CC</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H.  H_A</i> – точка симметричная <i>H</i> относительно <i>A.  H_AC</i>₁ пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>C'</i>; аналогично определяется точка <i>A'</i>. Докажите, что  <i>A'C' || AC</i>.

<i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ – высоты треугольника <i>ABC,  B</i>₀ – точка пересечения <i>BB</i>₁ и описанной окружности Ω, <i>Q</i> – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника <i>A</i>₁<i>C</i>₁<i>B</i>₀. Докажите, что <i>BQ</i> – симедиана треугольника <i>ABC</i>.

Вписанная окружность неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AB, BC</i> и <i>ABC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно. Описанная окружность треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ пересекает прямые <i>B</i>₁<i>A</i>₁ и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>A</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Докажите, что ортоцентр <i>H</i> треугольник...

По стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> движется точка <i>X</i>, а по описанной окружности Ω – точка <i>Y</i> так, что прямая <i>XY</i> проходит через середину дуги <i>AB</i>. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников <i>IXY</i>, где <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины гипотенузы <i>AB</i> и катета <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> соответственно. Вневписанная окружность треугольника <i>ACM</i> касается стороны <i>AM</i> в точке <i>Q</i>, а прямой <i>AC</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что точки <i>P</i>, <i>Q</i> и <i>N</i> лежат на одной прямой.

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина гипотенузы <i>AC</i>, точки <i>H_a</i>, <i>H_c</i> – ортоцентры треугольников <i>ABM, CBM</i> соответственно, прямые <i>AH_c, CH_a</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что  ∠<i>MBK</i> = 90°.

В неравнобедренном прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M</i> – середина гипотенузы <i>AC</i>, точки <i>H_a, H_c</i> – ортоцентры треугольников <i>ABM, CBM</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AH_c, CH_a</i> пересекаются на средней линии треугольника <i>ABC</i>.

Вневписанная окружность прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°)  касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁, а прямой <i>AC</i> в точке <i>A</i>₂. Прямая <i>A</i>₁<i>A</i>₂ пересекает (первый раз) вписанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>A'</i>; аналогично определяется точка <i>C'</i>. Докажите, что  <i>AC || A'C'</i>.

Точка <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников <i>CHB</i> и <i>AHB</i> в точке <i>H</i>, пересекают прямую <i>AC</i> в точках <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Докажите, что  <i>A</i>₁<i>H = C</i>₁<i>H</i>.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°),  касается сторон <i>AB, BC, CA</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно. <i>A</i>₂, <i>C</i>₂ – точки, симметричные точке <i>B</i>₁ относительно прямых <i>BC, AB</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>C</i>₁<i>C</i>₂ пересекаются на медиане треугольника <i>ABC</i>....

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 60°.  Серединный перпендикуляр к отрезку <i>AB</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>C</i>₁. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>AC</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>B</i>₁. Докажите, что прямая <i>B</i>₁<i>C</i>₁ касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> проведена высота <i>AH</i>. Точки <i>I_b</i> и <i>I_c</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABH</i> и <i>CAH</i>; <i>L</i> – точка касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со стороной <i>BC</i>. Найдите угол <i>LI_bI_c</i>.

Через вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, перпендикулярная медиане <i>BM</i>. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин <i>A</i> и <i>C</i> (или их продолжения), в точках <i>K</i> и <i>N</i>. Точки <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>ABK</i> и <i>CBN</i> соответственно. Докажите, что  <i>O</i>₁<i>M = O</i>₂<i>M</i>.

На стороне <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> взяты такие точки <i>M</i> и <i>N</i> (<i>M</i> лежит между <i>B</i> и <i>N</i>) , что  ∠<i>MAN</i> = 30°.  Описанные окружности треугольников <i>AMC</i> и <i>ANB</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая <i>AK</i> содержит центр описанной окружности треугольника <i>AMN</i>.

На высоте <i>BD</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>E</i>, что  ∠<i>AEC</i> = 90°.  Точки <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>AEB</i> и <i>CEB; F, L</i> – середины отрезков <i>AC</i> и <i>O</i>₁<i>O</i>₂. Докажите, что точки <i>L, E, F</i> лежат на одной прямой.

Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>N</i>. Описанные окружности треугольников <i>ANB</i> и <i>CND</i> повторно пересекают стороны <i>BC</i> и <i>AD</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, <i>D</i>₁. Докажите, что четырёхугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ вписан в окружность с центром <i>N</i>.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i>  (∠<i>C</i> = 90°)  биссектрисы <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ пересекаются в точке <i>I</i>. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>CA</i>₁<i>B</i>₁. Докажите, что  <i>OI</i> ⊥ <i>AB</i>.

Пусть <i>BM</i> – медиана прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°).  Окружность, вписанная в треугольник <i>ABM</i>, касается сторон <i>AB, AM</i> в точках <i>A</i>₁, <i>A</i>₂; аналогично определяются точки <i>C</i>₁, <i>C</i>₂. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и <i>C</i>₁<i>C</i>₂ пересекаются на биссектрисе угла <i>ABC</i>.

На гипотенузе <i>AC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> отметили точку такую <i>C</i>₁, что  <i>BC = CC</i>₁.  Затем на катете <i>AB</i> отметили такую точку <i>C</i>₂, что

<i>AC</i>₂ = <i>AC</i>₁;  аналогично определяется точка <i>A</i>₂. Найдите угол <i>AMC</i>, где <i>M</i> – середина отрезка <i>A</i>₂<i>C</i>₂.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> произвольно выбрана точка <i>D</i>. Касательная, проведённая в точке <i>D</i> к описанной окружности треугольника <i>BDC</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>C</i>₁; аналогично определяется точка <i>A</i>₁. Докажите, что  <i>A</i>₁C₁ || <i>AC</i>.