Швецов Д.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3-5 с решениями
Точки <i>M, N</i> – середины диагоналей <i>AC, BD</i> прямоугольной трапеции <i>ABCD</i> (∠<i>A</i> = ∠<i>D</i> = 90°). Описанные окружности треугольников <i>ABN, CDM</i> пересекают прямую <i>BC</i> в точках <i>Q, R</i>. Докажите, что точки <i>Q, R</i> равноудалены от середины отрезка <i>MN</i>.
Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается стороны <i>AB</i> в точке <i>C'</i>. Вписанная окружность треугольника <i>ACC'</i> касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>; Вписанная окружность треугольника <i>BCC'</i>, касается сторон <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>C</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>. Докажите, что прямые <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub> и <i>CC&#...
Пусть <i>BD</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Точки <i>I<sub>a</sub>, I<sub>c</sub></i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABD, CBD</i>. Прямая <i>I<sub>a</sub>I<sub>c</sub></i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что ∠<i>DBQ</i> = 90°.
Вневписанная окружность, соответствующая вершине <i>A</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> (∠<i>B</i> = 90°), касается продолжений сторон <i>AB, AC</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub> соответственно; аналогично определим точки <i>C</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>2</sub>. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A, B, C</i> на прямые <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> со...
Две окружности с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Биссектриса угла <i>O</i><sub>1</sub><i>AO</i><sub>2</sub> повторно пересекает окружности в точках <i>C</i> и <i>D</i>.
Докажите, что центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>CBD</i> равноудалён от точек <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub>.
Биссектрисы <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> (∠<i>B</i> = 90°) пересекаются в точке <i>I</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C</i><sub>1</sub> и перпендикулярная прямой <i>AA</i><sub>1</sub>, пересекает прямую, проходящую через <i>A</i><sub>1</sub> и перпендикулярную <i>CC</i><sub>1</sub>, в точке <i>K</i>. Докажите, что середина отрезка <i>KI</i> лежит на отрезке <i>AC</i>.