Швецов Д.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями

Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>N</i>. Описанные окружности треугольников <i>ANB</i> и <i>CND</i> повторно пересекают стороны <i>BC</i> и <i>AD</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, <i>D</i>₁. Докажите, что четырёхугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ вписан в окружность с центром <i>N</i>.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i>  (∠<i>C</i> = 90°)  биссектрисы <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ пересекаются в точке <i>I</i>. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>CA</i>₁<i>B</i>₁. Докажите, что  <i>OI</i> ⊥ <i>AB</i>.

Окружность с центром <i>I</i> касается сторон <i>AB, BC, CA</i> треугольника <i>ABC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁. Прямые <i>AI, CI, B</i>₁<i>I</i> пересекают <i>A</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>X, Y, Z</i> соответственно. Докажите, что  ∠<i>YB</i>₁<i>Z</i> = ∠<i>XB</i>₁<i>Z</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>B</i> = 60°,  <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>BL</i> – биссектриса. Описанная окружность треугольника <i>BOL</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> вторично в точке <i>D</i>. Докажите, что  <i>BD</i> ⊥ <i>AC</i>.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i>, касается катетов <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>A</i>₁, а гипотенузы – в точке <i>C</i>₁. Прямые <i>C</i>₁<i>A</i>₁ и <i>C</i>₁<i>B</i>₁ пересекают <i>CA</i> и <i>CB</i> соответственно в точках <i>B</i>₀ и <i>A</i>₀. Докажите, что  <i>AB</i>₀ = <i>BA</i>₀.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°)  проведена высота <i>BH</i>. Окружность, вписанная в треугольник <i>ABH</i>, касается сторон <i>AB, AH</i> в точках <i>H</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник <i>CBH</i>, касается сторон <i>CB, CH</i> в точках <i>H</i>₂, <i>B</i>₂ соответственно. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>H</i>₁<i>BH</i>₂. Докажите, что  <i>OB</i>₁ = <i>OB</i...

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i>  (∠<i>ABC</i> = 90°),  касается сторон <i>AB, BC, AC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₂. <i>A</i>₀ – центр окружности, описанной около треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>B</i>₁; аналогично определяется точка <i>C</i>₀. Найдите угол <i>A</i>₀<i&...

Диагонали <i>AC, BD</i> трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Описанные окружности треугольников <i>ABP, CDP</i> пересекают прямую <i>AD</i> в точках <i>X, Y</i>. Точка <i>M</i> – середина <i>XY</i>. Докажите, что  <i>BM = CM</i>.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром в точке <i>O</i>. Точки <i>E</i> и <i>F</i> – середины не содержащих других вершин дуг <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно. Прямые, проходящие через точки <i>E</i> и <i>F</i> параллельно диагоналям четырёхугольника <i>ABCD</i>, пересекаются в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что прямая <i>KL</i> содержит точку <i>O</i>.

Через вершину <i>B</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая <i>l</i>. Окружность ω_<i>a</i> с центром <i>I_a</i> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁ и прямых <i>l</i> и <i>AC</i>. Окружность ω_<i>c</i> с центром <i>I_c</i> касается стороны <i>BA</i> в точке <i>C</i>₁ и прямых <i>l</i> и <i>AC</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ лежит на прямой <i>I<sub&g...

Пятиугольник <i>ABCDE</i>, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>E</i>₁; продолжения сторон <i>BC</i> и <i>DE</i> – в точке <i>A</i>₁. Касательная, проведённая в точке <i>B</i> к описанной окружности треугольника <i>BE</i>₁<i>C</i>, пересекает ω в точке <i>B</i>₁; аналогично определяется точка <i>D</i>₁. Докажите, что  <i>B</i>₁<i>D</i>₁ || <i>AE</i>.