Швецов Д.В. — олимпиадные задачи по математике для 8 класса

Точка <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников <i>CHB</i> и <i>AHB</i> в точке <i>H</i>, пересекают прямую <i>AC</i> в точках <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Докажите, что  <i>A</i>₁<i>H = C</i>₁<i>H</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 60°.  Серединный перпендикуляр к отрезку <i>AB</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>C</i>₁. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>AC</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>B</i>₁. Докажите, что прямая <i>B</i>₁<i>C</i>₁ касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> проведена высота <i>AH</i>. Точки <i>I_b</i> и <i>I_c</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABH</i> и <i>CAH</i>; <i>L</i> – точка касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со стороной <i>BC</i>. Найдите угол <i>LI_bI_c</i>.

Через вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, перпендикулярная медиане <i>BM</i>. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин <i>A</i> и <i>C</i> (или их продолжения), в точках <i>K</i> и <i>N</i>. Точки <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>ABK</i> и <i>CBN</i> соответственно. Докажите, что  <i>O</i>₁<i>M = O</i>₂<i>M</i>.

На стороне <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> взяты такие точки <i>M</i> и <i>N</i> (<i>M</i> лежит между <i>B</i> и <i>N</i>) , что  ∠<i>MAN</i> = 30°.  Описанные окружности треугольников <i>AMC</i> и <i>ANB</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая <i>AK</i> содержит центр описанной окружности треугольника <i>AMN</i>.

На высоте <i>BD</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>E</i>, что  ∠<i>AEC</i> = 90°.  Точки <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>AEB</i> и <i>CEB; F, L</i> – середины отрезков <i>AC</i> и <i>O</i>₁<i>O</i>₂. Докажите, что точки <i>L, E, F</i> лежат на одной прямой.

Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>N</i>. Описанные окружности треугольников <i>ANB</i> и <i>CND</i> повторно пересекают стороны <i>BC</i> и <i>AD</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, <i>D</i>₁. Докажите, что четырёхугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ вписан в окружность с центром <i>N</i>.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i>  (∠<i>C</i> = 90°)  биссектрисы <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ пересекаются в точке <i>I</i>. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>CA</i>₁<i>B</i>₁. Докажите, что  <i>OI</i> ⊥ <i>AB</i>.

Пусть <i>BM</i> – медиана прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°).  Окружность, вписанная в треугольник <i>ABM</i>, касается сторон <i>AB, AM</i> в точках <i>A</i>₁, <i>A</i>₂; аналогично определяются точки <i>C</i>₁, <i>C</i>₂. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и <i>C</i>₁<i>C</i>₂ пересекаются на биссектрисе угла <i>ABC</i>.

На гипотенузе <i>AC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> отметили точку такую <i>C</i>₁, что  <i>BC = CC</i>₁.  Затем на катете <i>AB</i> отметили такую точку <i>C</i>₂, что

<i>AC</i>₂ = <i>AC</i>₁;  аналогично определяется точка <i>A</i>₂. Найдите угол <i>AMC</i>, где <i>M</i> – середина отрезка <i>A</i>₂<i>C</i>₂.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> произвольно выбрана точка <i>D</i>. Касательная, проведённая в точке <i>D</i> к описанной окружности треугольника <i>BDC</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>C</i>₁; аналогично определяется точка <i>A</i>₁. Докажите, что  <i>A</i>₁C₁ || <i>AC</i>.

Окружность с центром <i>I</i> касается сторон <i>AB, BC, CA</i> треугольника <i>ABC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁. Прямые <i>AI, CI, B</i>₁<i>I</i> пересекают <i>A</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>X, Y, Z</i> соответственно. Докажите, что  ∠<i>YB</i>₁<i>Z</i> = ∠<i>XB</i>₁<i>Z</i>.

Окружности ω₁ и ω₂, касающиеся внешним образом в точке <i>L</i>, вписаны в угол <i>BAC</i>. Окружность ω₁ касается луча <i>AB</i> в точке <i>E</i>, а окружность ω₂ – луча <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Прямая <i>EL</i> пересекает повторно окружность ω₂ в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>MQ || AL</i>.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i>, касается катетов <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>A</i>₁, а гипотенузы – в точке <i>C</i>₁. Прямые <i>C</i>₁<i>A</i>₁ и <i>C</i>₁<i>B</i>₁ пересекают <i>CA</i> и <i>CB</i> соответственно в точках <i>B</i>₀ и <i>A</i>₀. Докажите, что  <i>AB</i>₀ = <i>BA</i>₀.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i>  (∠<i>ABC</i> = 90°),  касается сторон <i>AB, BC, AC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₂. <i>A</i>₀ – центр окружности, описанной около треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>B</i>₁; аналогично определяется точка <i>C</i>₀. Найдите угол <i>A</i>₀<i&...

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается стороны <i>AB</i> в точке <i>C'</i>. Вписанная окружность треугольника <i>ACC'</i> касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>B</i>₁; Вписанная окружность треугольника <i>BCC'</i>, касается сторон <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>C</i>₂, <i>A</i>₂. Докажите, что прямые <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₂<i>C</i>₂ и <i>CC&#...

Пусть <i>BD</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Точки <i>I_a, I_c</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABD, CBD</i>. Прямая <i>I_aI_c</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что  ∠<i>DBQ</i> = 90°.

Диагонали <i>AC, BD</i> трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Описанные окружности треугольников <i>ABP, CDP</i> пересекают прямую <i>AD</i> в точках <i>X, Y</i>. Точка <i>M</i> – середина <i>XY</i>. Докажите, что  <i>BM = CM</i>.

Вневписанная окружность, соответствующая вершине <i>A</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°),  касается продолжений сторон <i>AB, AC</i> в точках <i>A</i>₁, <i>A</i>₂ соответственно; аналогично определим точки <i>C</i>₁, <i>C</i>₂. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A, B, C</i> на прямые <i>C</i>₁<i>C</i>₂, <i>A</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₁<i>A</i>₂ со...

Через вершину <i>B</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая <i>l</i>. Окружность ω_<i>a</i> с центром <i>I_a</i> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁ и прямых <i>l</i> и <i>AC</i>. Окружность ω_<i>c</i> с центром <i>I_c</i> касается стороны <i>BA</i> в точке <i>C</i>₁ и прямых <i>l</i> и <i>AC</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ лежит на прямой <i>I<sub&g...

Пятиугольник <i>ABCDE</i>, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>E</i>₁; продолжения сторон <i>BC</i> и <i>DE</i> – в точке <i>A</i>₁. Касательная, проведённая в точке <i>B</i> к описанной окружности треугольника <i>BE</i>₁<i>C</i>, пересекает ω в точке <i>B</i>₁; аналогично определяется точка <i>D</i>₁. Докажите, что  <i>B</i>₁<i>D</i>₁ || <i>AE</i>.

Две окружности с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Биссектриса угла <i>O</i>₁<i>AO</i>₂ повторно пересекает окружности в точках <i>C</i> и <i>D</i>.

Докажите, что центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>CBD</i> равноудалён от точек <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂.

Биссектрисы <i>AA</i>₁ и <i>CC</i>₁ прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°)  пересекаются в точке <i>I</i>. Прямая, проходящая через точку <i>C</i>₁ и перпендикулярная прямой <i>AA</i>₁, пересекает прямую, проходящую через <i>A</i>₁ и перпендикулярную <i>CC</i>₁, в точке <i>K</i>. Докажите, что середина отрезка <i>KI</i> лежит на отрезке <i>AC</i>.