Белухов Н. — олимпиадные задачи по математике

Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму <i>s</i> и называет 97 троек  {<i>i, j, k</i>},  где <i>i, j, k</i> – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₀₀ с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников <i>A_iA_jA_k</i>. При каком наибольшем <i>s</i> Человеку выгодно согласиться?

Есть 101 жук, среди которых некоторые являются друзьями. Известно, что любые 100 жуков могут расположиться на плоскости так, что каждые два из них будут друзьями тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно 1. Верно ли, что все жуки тоже могут расположиться таким же образом?

Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?

Выпуклый шестиугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₆ описан около окружности ω радиуса 1. Рассмотрим три отрезка, соединяющие середины противоположных сторон шестиугольника. Для какого наибольшего <i>r</i> можно утверждать, что хотя бы один из этих отрезков не короче <i>r</i>?

Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.

Три равных правильных тетраэдра имеют общий центр. Могут ли все грани многогранника, являющегося их пересечением, быть равны?

Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, пересекающая <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Точка <i>A'</i> – середина отрезка, соединяющего проекции <i>A</i>₁ на <i>AB</i> и <i>AC</i>. Аналогично определяются точки <i>B'</i> и <i>C'</i>.

  а) Докажите, что <i>A', B'</i> и <i>C'</i> лежат на некоторой прямой <i>l'</i>.

  б) Докажите, что, если <i>l</i> проходит через центр описанной окружности треугольника <...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины диагоналей <i>AC</i> и <i>BD</i>.

Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – вписанный тогда и только тогда, когда  <i>IM</i> : <i>AC = IN</i> : <i>BD</i>.

Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра.

Найдите отношение рёбер икосаэдров.

Шестиугольник <i>ABCDEF</i> вписан в окружность. Известно, что  <i>AB·CF</i> = 2<i>BC·FA</i>,  <i>CD·EB</i> = 2<i>DE·BC</i>,  <i>EF·AD</i> = 2<i>FA·DE</i>.

Докажите, что прямые <i>AD, BE</i> и <i>CF</i> пересекаются в одной точке.

Через ортоцентр остроугольного треугольника проведены две перпендикулярные прямые. Стороны треугольника высекают на каждой из этих прямых два отрезка: один, лежащий внутри треугольника, второй – вне его. Докажите, что произведение двух внутренних отрезков равно произведению двух внешних.

Дан четырёхугольник <i>KLMN</i>. Окружность с центром <i>O</i> пересекает его сторону <i>KL</i> в точках <i>A</i> и <i>A</i>₁, сторону <i>LM</i> в точках <i>B</i> и <i>B</i>₁, и т.д. Докажите что

  а) если описанные окружности треугольников <i>KDA, LAB, MBC</i> и <i>NCD</i> пересекаются в одной точке <i>P</i>, то описанные окружности треугольников <i>KD</i>₁<i>A</i>₁, <i>LA</i>₁<i>B</i>₁, <i>MB</i>₁<i>C</i><sub>1</sub&g...

Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Внутри треугольника <i>BCD</i> взяли точку <i>L_a</i>, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников <i>ACD, ABD, ABC</i> взяли точки <i>L_b, L_c</i> и <i>L_d</i> соответственно. Оказалось, что четырёхугольник <i>L_aL_bL_cL_d</i> вписанный. Докажите, что у <i>ABCD</i> есть две параллельные стороны.

Выпуклый фанерный многоугольник <i>P</i> лежит на деревянном столе. В стол можно вбивать гвозди, которые не должны проходить через <i>P</i>, но могут касаться его границы. Фиксирующим называется набор гвоздей, не позволяющий двигать <i>P</i> по столу. Найдите минимальное количество гвоздей, позволяющее зафиксировать любой выпуклый многоугольник.

Девять окружностей расположены вокруг произвольного треугольника так, как показано на рисунке. Окружности, касающиеся одной и той же стороны треугольника, равны между собой. Докажите, что три прямые на рисунке пересекаются в одной точке. (Прямые проходят через вершины треугольника и центры соответствующих окружностей.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64810/problem_64810_img_2.png"></div>

Вокруг треугольника <i>ABC</i> описали окружность <i>k</i>. На сторонах треугольника отметили три точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.

В треугольнике <i>ABC  AL_a</i> и <i>AM_a</i> – внутренняя и внешняя биссектрисы угла <i>A</i>. Пусть ω<i>_a</i> – окружность, симметричная описанной окружности Ω<i>_a</i> треугольника <i>AL_aM_a</i> относительно середины <i>BC</i>. Окружность ω<i>_b</i> определена аналогично. Докажите, что ω<i>_a</i> и ω<i>_b</i> касаются тогда и только тогда, когда треугольник <i>ABC</i> прямоугольный.

Дан бумажный треугольник, площадь которого равна ½, а квадраты всех сторон – целые числа.

Докажите, что в него можно завернуть квадрат с площадью ¼ (треугольник можно сгибать, но нельзя резать).

Дан треугольник <i>ABC</i> и такая точка <i>F</i>, что  ∠<i>AFB</i> = ∠<i>BFC</i> = ∠<i>CFA</i>.  Прямая, проходящая через <i>F</i> и перпендикулярная <i>BC</i>, пересекает медиану, проведённую из вершины <i>A</i>, в точке <i>A</i>₁. Точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ определяются аналогично. Докажите, что <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника <i>ABC</i>.