Белухов Н. — олимпиадные задачи по математике для 7-9 класса
Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины диагоналей <i>AC</i> и <i>BD</i>.
Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – вписанный тогда и только тогда, когда <i>IM</i> : <i>AC = IN</i> : <i>BD</i>.
Выпуклый фанерный многоугольник <i>P</i> лежит на деревянном столе. В стол можно вбивать гвозди, которые не должны проходить через <i>P</i>, но могут касаться его границы. Фиксирующим называется набор гвоздей, не позволяющий двигать <i>P</i> по столу. Найдите минимальное количество гвоздей, позволяющее зафиксировать любой выпуклый многоугольник.
Девять окружностей расположены вокруг произвольного треугольника так, как показано на рисунке. Окружности, касающиеся одной и той же стороны треугольника, равны между собой. Докажите, что три прямые на рисунке пересекаются в одной точке. (Прямые проходят через вершины треугольника и центры соответствующих окружностей.) <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64810/problem_64810_img_2.png"></div>
В треугольнике <i>ABC AL<sub>a</sub></i> и <i>AM<sub>a</sub></i> – внутренняя и внешняя биссектрисы угла <i>A</i>. Пусть ω<i><sub>a</sub></i> – окружность, симметричная описанной окружности Ω<i><sub>a</sub></i> треугольника <i>AL<sub>a</sub>M<sub>a</sub></i> относительно середины <i>BC</i>. Окружность ω<i><sub>b</sub></i> определена аналогично. Докажите, что ω<i><sub>a</sub></i> и ω<i><sub>b</sub></i> касаются тогда и только тогда, когда треугольник <i>ABC</i> прямоугольный.
Дан треугольник <i>ABC</i> и такая точка <i>F</i>, что ∠<i>AFB</i> = ∠<i>BFC</i> = ∠<i>CFA</i>. Прямая, проходящая через <i>F</i> и перпендикулярная <i>BC</i>, пересекает медиану, проведённую из вершины <i>A</i>, в точке <i>A</i><sub>1</sub>. Точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> определяются аналогично. Докажите, что <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> являются тремя вершинами правильного шестиугольника, три другие вершины которого лежат на сторонах треугольника <i>ABC</i>.