Белухов Н. — олимпиадные задачи по математике для 11 класса

Есть 101 жук, среди которых некоторые являются друзьями. Известно, что любые 100 жуков могут расположиться на плоскости так, что каждые два из них будут друзьями тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно 1. Верно ли, что все жуки тоже могут расположиться таким же образом?

Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.

Три равных правильных тетраэдра имеют общий центр. Могут ли все грани многогранника, являющегося их пересечением, быть равны?

Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, пересекающая <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Точка <i>A'</i> – середина отрезка, соединяющего проекции <i>A</i>₁ на <i>AB</i> и <i>AC</i>. Аналогично определяются точки <i>B'</i> и <i>C'</i>.

  а) Докажите, что <i>A', B'</i> и <i>C'</i> лежат на некоторой прямой <i>l'</i>.

  б) Докажите, что, если <i>l</i> проходит через центр описанной окружности треугольника <...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины диагоналей <i>AC</i> и <i>BD</i>.

Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – вписанный тогда и только тогда, когда  <i>IM</i> : <i>AC = IN</i> : <i>BD</i>.

Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра.

Найдите отношение рёбер икосаэдров.

Шестиугольник <i>ABCDEF</i> вписан в окружность. Известно, что  <i>AB·CF</i> = 2<i>BC·FA</i>,  <i>CD·EB</i> = 2<i>DE·BC</i>,  <i>EF·AD</i> = 2<i>FA·DE</i>.

Докажите, что прямые <i>AD, BE</i> и <i>CF</i> пересекаются в одной точке.

Через ортоцентр остроугольного треугольника проведены две перпендикулярные прямые. Стороны треугольника высекают на каждой из этих прямых два отрезка: один, лежащий внутри треугольника, второй – вне его. Докажите, что произведение двух внутренних отрезков равно произведению двух внешних.

Дан четырёхугольник <i>KLMN</i>. Окружность с центром <i>O</i> пересекает его сторону <i>KL</i> в точках <i>A</i> и <i>A</i>₁, сторону <i>LM</i> в точках <i>B</i> и <i>B</i>₁, и т.д. Докажите что

  а) если описанные окружности треугольников <i>KDA, LAB, MBC</i> и <i>NCD</i> пересекаются в одной точке <i>P</i>, то описанные окружности треугольников <i>KD</i>₁<i>A</i>₁, <i>LA</i>₁<i>B</i>₁, <i>MB</i>₁<i>C</i><sub>1</sub&g...

Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Внутри треугольника <i>BCD</i> взяли точку <i>L_a</i>, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников <i>ACD, ABD, ABC</i> взяли точки <i>L_b, L_c</i> и <i>L_d</i> соответственно. Оказалось, что четырёхугольник <i>L_aL_bL_cL_d</i> вписанный. Докажите, что у <i>ABCD</i> есть две параллельные стороны.

Вокруг треугольника <i>ABC</i> описали окружность <i>k</i>. На сторонах треугольника отметили три точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке.