Нилов Ф. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2-4 с решениями
Две окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> с центрами <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Точки <i>C</i> и <i>D</i>, лежащие соответственно на ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> по разные стороны от прямой <i>AB</i>, равноудалены от этой прямой. Докажите, что точки <i>C</i> и <i>D</i> равноудалены от середины отрезка <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub>.
На отрезке <i>AB</i> построена дуга α (см. рис.). Окружность ω касается отрезка <i>AB</i> в точке <i>T</i> и пересекает α в точках <i>C</i> и <i>D</i>. Лучи <i>AC</i> и <i>TD</i> пересекаются в точке <i>E</i>, лучи <i>BD</i> и <i>TC</i> – в точке <i>F</i>. Докажите, что прямые <i>EF</i> и <i>AB</i> параллельны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64390/problem_64390_img_2.png"></div>
Внутри угла <i>AOD</i> проведены лучи <i>OB</i> и <i>OC</i>, причём ∠<i>AOB</i> = ∠<i>COD</i>. В углы <i>AOB</i> и <i>COD</i> вписаны непересекающиеся окружности.
Докажите, что точка пересечения общих внутренних касательных к этим окружностям лежит на биссектрисе угла <i>AOD</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64339/problem_64339_img_2.gif"></div>