Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Андрей Михайлович выписал на доску все возможные последовательности длины , состоящие из 1011 нулей и 1011 единиц. Назовём две последовательностисовместимыми, если они совпадают ровно в 4 позициях. Докажите, что Андрей Михайлович может разбить все последовательности на 20 групп так, чтобы никакие две совместимые последовательности не попали в одну группу.
В стране лингвистов существует n языков. Там живет m людей, каждый из которых знает ровно три языка, причём для разных людей эти наборы различны. Известно, что максимальное число людей, любые два из которых могут поговорить без посредников, равно k. Оказалось, что 11n ≤ k ≤ m/2. Докажите, что тогда в стране найдутся хотя бы mn пар людей, которые не смогут поговорить без посредников.