Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Cерединные перпендикуляры к сторонам BC и AC остроугольного треугольника ABC пересекают прямые AC и BC в точках M и N. Пусть точка C движется по описанной окружности треугольника ABC, оставаясь в одной полуплоскости относительно AB (при этом точки A и B неподвижны). Докажите, что прямая MN касается фиксированной окружности.
В треугольнике ABC угол A равен60o . Пусть BB1 и CC1 — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B1C1 , лежит на стороне BC .
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты CC1 и BB1 пересекают прямую, проходящую через вершину A и параллельную прямой BC, в точках P и Q. Пусть A0 – середина стороны BC, а AA1 – высота. Прямые A0C1 и A0B1 пересекают прямую PQ в точках K и L. Докажите, что описанные окружности треугольников PQA1, KLA0, A1B1C1 и окружность с диаметром AA1 пересекаются в одной точке.
а) Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и AB в точках B0 и C0 соответственно. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекают серединный перпендикуляр к биссектрисе AL в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC0 и QB0 пересекаются на прямой BC.б) В треугольнике ABC провели биссектрису AL. Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников ABL и ACL соответственно. Точки B1 и C1 – проекции вершин C и B на биссектрисы углов B и C соответственно. Докажите, что прямые O1C1 и O2B1 пересекаются на прямой BC.в) Докажите, что точки, полученные в пп. а) и б),...