Прокопенко Д. — олимпиадные задачи по математике для 5-9 класса
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub>. <i>A</i><sub>0</sub> – середина стороны <i>BC</i>. Прямые <i>A</i><sub>0</sub><i>B</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>0</sub><i>C</i><sub>1</sub> пересекают прямую, проходящую через вершину <i>A</i> параллельно прямой <i>BC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>PA</i><sub>0</sub><i>Q</i> лежит на высоте треугольника <i>ABC</i>.
Из некоторой точки <i>D</i> в плоскости треугольника <i>ABC</i> провели прямые, перпендикулярные к отрезкам <i>DA, DB, DC</i>, которые пересекают прямые <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Докажите, что середины отрезков <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> лежат на одной прямой.
На окружности ω c центром <i>O</i> фиксированы точки <i>A</i> и <i>C</i>. Точка <i>B</i> движется по дуге <i>AC</i>. Точка <i>P</i> – фиксированная точка хорды <i>AC</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>AO</i>, пересекает прямую <i>BA</i> в точке <i>A</i><sub>1</sub>; прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>CO</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>BC</i><sub>1</sub> движется по прямой.
Точки <i>E, F</i> – середины сторон <i>BC, CD</i> квадрата <i>ABCD</i>. Прямые <i>AE</i> и <i>BF</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что ∠<i>PDA</i> = ∠<i>AED</i>.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> лучи <i>AB</i> и <i>DC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. На биссектрисе угла <i>AKD</i> нашлась такая точка <i>P</i>, что прямые <i>BP</i> и <i>CP</i> делят пополам отрезки <i>AC</i> и <i>BD</i> соответственно. Докажите, что <i>AB = CD</i>.