Задача № 216410
На доске записано 101 число: 1², 2², ..., 101². За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности. Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций?
Малкин М.И. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216281
В пространстве с декартовой системой координат дан прямоугольный параллелепипед, вершины которого имеют целочисленные координаты. Его объём равен 2011. Докажите, что рёбра параллелепипеда параллельны координатным осям.
Задача № 205206
В выражении (x4 + x³ – 3x² + x + 2)2006 раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. Докажите, что при некоторой степени переменной x получился отрицательный коэффициент.
Задача № 166853
Существует ли вписанный в окружность -угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов, если а) = 19; б) = 20?
Задача № 166564
Существует ли вписанный в окружность -угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?
Задача № 165854
Докажите, что любая натуральная степень многочлена P(x) = x4 + x³ – 3x² + x + 2 имеет хотя бы один отрицательный коэффициент.
Задача № 164848
Можно ли все натуральные делители числа 100! (включая 1 и само число) разбить на две группы так, чтобы в обеих группах было одинаковое количество чисел и произведение чисел первой группы равнялось произведению чисел второй группы?