Задача № 216410
На доске записано 101 число: 1², 2², ..., 101². За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности. Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций?
Малкин М.И. — олимпиадные задачи по математике для 7-8 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 205206
В выражении (x4 + x³ – 3x² + x + 2)2006 раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. Докажите, что при некоторой степени переменной x получился отрицательный коэффициент.
Задача № 167160
Даны два взаимно простых числа , больших 1 и различающихся больше чем на 1. Докажите, что найдётся натуральное , для которого НОК() < НОК().
Задача № 166853
Существует ли вписанный в окружность -угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов, если а) = 19; б) = 20?
Задача № 165817
Есть шесть монет, одна из которых фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но её вес, как и вес настоящей монеты, неизвестен). Как за три взвешивания с помощью весов, показывающих общий вес взвешиваемых монет, найти фальшивую монету?
Задача № 164848
Можно ли все натуральные делители числа 100! (включая 1 и само число) разбить на две группы так, чтобы в обеих группах было одинаковое количество чисел и произведение чисел первой группы равнялось произведению чисел второй группы?
Задача № 164453
Число представили в виде несократимой дроби. Докажите, что если 3n + 1 – простое число, то числитель получившейся дроби делится на 3n + 1.