Шноль Д.Э. — олимпиадные задачи по математике - сложность 2-5 с решениями
Дан квадрат 2<i>n</i>×2<i>n</i>. Вася закрашивает в нём две любые клетки. Всегда ли Петя сможет разрезать этот квадрат на две равные части так, чтобы закрашенные клетки были в разных половинках?
Отец говорит сыну:
– Сегодня у нас у обоих день рождения, и ты стал ровно в 2 раза моложе меня.
– Да, и это восьмой раз за мою жизнь, когда я моложе тебя в целое число раз.
Сколько лет сыну, если отец не старше 75 лет?
Мария Ивановна покупает 16 шариков для Последнего звонка. В магазине есть шарики трёх цветов: синего, красного и зелёного. Сколько существует вариантов различных покупок 16 шариков, если Мария Ивановна хочет, чтобы шарики каждого цвета составляли не менее четверти от количества всех шариков?
Есть пять батареек, из которых три заряжены, а две разряжены. Фотоаппарат работает от двух заряженных батареек. Покажите, как за четыре попытки можно гарантированно включить фотоаппарат.
Известно, что ЖЖ + Ж = МЁД. На какую цифру оканчивается произведение: В·И·Н·Н·И·П·У·Х (разными буквами обозначены разные цифры, одинаковыми – одинаковые)?
Вася положил некую сумму в рублях в банк под 20% годовых. Петя взял другую сумму в рублях, перевел её в доллары и положил в банк под 10% годовых. За год цена одного доллара в рублях увеличилась на 9,5%. Когда через год Петя перевел свой вклад в рубли, то оказалось, что за год Вася и Петя получили одинаковую прибыль. У кого первоначально была сумма больше – у Васи или у Пети?
Врун всегда лжёт, Хитрец говорит правду или ложь, когда захочет, а Переменчик говорит то правду, то ложь попеременно. Путешественник встретил Вруна, Хитреца и Переменчика, которые знают друг друга. Сможет ли он, задавая им вопросы, выяснить, кто есть кто?
Компания из нескольких друзей вела переписку так, что каждое письмо получали все, кроме отправителя. Каждый написал одно и то же количество писем, в результате чего всеми вместе было получено 440 писем. Сколько человек могло быть в этой компании?
Сумма трёх различных наименьших делителей некоторого числа <i>A</i> равна 8. На сколько нулей может оканчиваться число <i>A</i>?
Одуванчик утром распускается, три дня цветет жёлтым, на четвёртый день утром становится белым, а к вечеру пятого дня облетает. В понедельник днем на поляне было 20 жёлтых и 14 белых одуванчиков, а в среду – 15 жёлтых и 11 белых. Сколько белых одуванчиков будет на поляне в субботу?
Одуванчик утром распускается, два дня цветёт жёлтым, на третий день утром становится белым, а к вечеру облетает. Вчера днем на поляне было 20 жёлтых и 14 белых одуванчиков, а сегодня 15 жёлтых и 11 белых.
а) Сколько жёлтых одуванчиков было на поляне позавчера?
б) Сколько белых одуванчиков будет на поляне завтра?
Иван Иванович построил сруб, квадратный в основании, и собирается покрывать его крышей. Он выбирает между двумя крышами одинаковой высоты: двускатной и четырёхскатной (см. рисунки). На какую из этих крыш понадобится больше жести?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64380/problem_64380_img_2.png"><img src="/storage/problem-media/64380/problem_64380_img_3.png"></div>
Квадрат разрезали на двенадцать прямоугольных треугольников.
Могут ли десять из них оказаться равными друг другу, а два оставшихся – отличаться и от них, и друг от друга?
Каждая буква в словах ЭХ и МОРОЗ соответствует какой-то цифре, причём одинаковым цифрам соответствуют одинаковые буквы, а разным – разные. Известно, что Э·Х = M·О·Р·О·З, а Э + Х = М + О + Р + О + З. Чему равно Э·Х + M·О·Р·О·З?
В некотором государстве живут граждане трёх типов: а) <i>дурак</i> считает всех дураками, а себя умным; б) <i>скромный умный</i> про всех знает правильно, а себя считает дураком; в) <i>уверенный умный</i> про всех знает правильно, а себя считает умным. В думе – 200 депутатов. Премьер-министр провёл анонимный опрос думцев: сколько умных в этом зале сейчас находится? По данным анкет он не смог узнать количество умных. Но тут из поездки вернулся единственный депутат, не участвовавший в опросе. Он заполнил анкету про всю думу, включая себя, и прочитав её, премьер-министр всё понял. Сколько умных могло быть в думе (включая путешественника)?
Вася называет прямоугольник, стороны которого отличаются на 1, <i>почти-квадратом</i>. (Например, прямоугольник со сторонами 5 и 6 – это почти-квадрат.) Существует ли почти-квадрат, который можно разрезать на 2010 почти-квадратов?
На острове Правландия все жители могут ошибаться, но младшие никогда не противоречат старшим, а когда старшие противоречат младшим, они (старшие) не ошибаются. Между жителями A, Б и В произошёл такой разговор:
А: Б – самый высокий.
Б: А – самый высокий.
В: Я выше Б.
Следует ли из этого разговора, что чем моложе человек, тем он выше (для трёх говоривших)?
Дан куб с ребром 2. Покажите, как наклеить на него без наложений 10 квадратов со стороной 1 так, чтобы никакие квадраты не граничили по отрезку (по стороне или её части). Перегибать квадраты нельзя.
Папа, Маша и Яша вместе идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?
Даны два приведённых квадратных трёхчлена. График одного из них пересекает ось <i>Ox</i> в точках <i>A</i> и <i>M</i>, а ось <i>Oy</i> – в точке <i>C</i>. График другого пересекает ось <i>Ox</i> в точках <i>B</i> и <i>M</i>, а ось <i>Oy</i> – в точке <i>D</i>. (<i>O</i> – начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники <i>AOC</i> и <i>BOD</i> подобны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/32897/problem_32897_img_2.gif"></div>