Задача № 205181
Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, а её сумма – степень двойки. Докажите, что количество членов прогрессии тоже степень двойки.
Скопенков М.Б. — олимпиадные задачи по математике для 9 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 166825
Дан многоугольник, у которого каждые две соседние стороны перпендикулярны. Назовём две его вершины не дружными, если биссектрисы многоугольника, выходящие из этих вершин, перпендикулярны. Докажите, что для любой вершины количество не дружных с ней вершин чётно.
Задача № 166190
а) Торт имеет форму тупоугольного треугольника, в котором тупой угол в 2 раза больше одного из острых углов. Коробка для торта имеет форму того же треугольника, но симметрична ему относительно некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, которые можно будет (не переворачивая) уложить в эту коробку? б) Та же задача для торта, имеющего форму треугольника с углами 20°, 30°, 130°. (Торт и коробку считайте плоскими фигурами.)
Задача № 166185
а) Торт имеет форму треугольника, в котором один угол в 3 раза больше другого. Коробка для торта имеет форму того же треугольника, но симметрична ему относительно некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, которые можно будет (не переворачивая) уложить в эту коробку? б) Та же задача для торта в форме тупоугольного треугольника, в котором тупой угол в 2 раза больше одного из острых углов. (Торт и коробку считайте плоскими фигурами.)