Задача № 198127
n чисел (n > 1) называются близкими, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на n – 1. Пусть a, b, c, ... – n близких чисел, S – их сумма. Докажите, что а) все они положительны; б) a + b > c; в) a + b > S/n–1.
Шлейфер Р. — олимпиадные задачи по математике - сложность 1-5 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 173827
На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число – модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?
Задача № 173809
Найдите наименьшее число вида а) |11k – 5n|; б) |36k – 5n|; в) |53k – 37n|, где k и n – натуральные числа.
Задача № 173786
Даноnфишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета неболее n/2.Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.
Задача № 173773
Для любого натурального числа n сумма делится на 2n–1. Докажите это.