Косухин О.Н. — олимпиадные задачи по математике

На сторонах выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i> во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники <i>ABC</i>₁, <i>BCD</i>₁, <i>CDE</i>₁, <i>DEF</i>₁, <i>EFA</i>₁ и <i>FAB</i>₁. Оказалось, что треугольник <i>B</i>₁<i>D</i>₁<i>F</i>₁ – равносторонний. Докажите, что треугольник <i>A</i>₁<i>C</i>₁<i>E</i>₁ также равносторонний.

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>D</i>, что  <i>BD = CD</i>,  ∠<i>BDC</i> = 120°.  Вне треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>E</i>, что  <i>AE = CE</i>,  ∠<i>AEC</i> = 60°  и точки <i>B</i> и <i>E</i> находятся в разных полуплоскостях относительно <i>AC</i>. Докажите, что  ∠<i>AFD</i> = 90°,  где <i>F</i> – середина отрезка <i>BE</i>.

Детектив Ниро Вульф расследует преступление. В деле замешаны 80 человек, среди которых один – преступник, еще один – свидетель преступления (но неизвестно, кто это). Каждый день детектив может пригласить к себе одного или нескольких из этих 80 человек, и если среди приглашенных есть свидетель, но нет преступника, то свидетель сообщит, кто преступник. Может ли детектив заведомо раскрыть дело за 12 дней?

Три велосипедиста ездят в одном направлении по круглому треку длиной 300 метров. Каждый из них движется со своей постоянной скоростью, все скорости различны. Фотограф сможет сделать удачный снимок велосипедистов, если все они окажутся на каком-либо участке трека длиной <i>d</i> метров. При каком наименьшем <i>d</i> фотограф рано или поздно заведомо сможет сделать удачный снимок?

Про приведённый многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>xⁿ</i> + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀  с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном

<i>m</i> ≥ 2  многочлен  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65692/problem_65692_img_2.gif">  имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) имеет действительные корни, причём только положительные?

Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на 2016.

Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:

  а) меньше ⁴/₅;

  б) меньше ⁴/₇?

Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.

Докажите, что в таблице 8×8 нельзя расставить натуральные числа от 1 до 64 (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата 2×2 вида  <img align="middle" src="/storage/problem-media/65205/problem_65205_img_2.png">  было выполнено равенство  |<i>ad – bc</i>| = 1.

Поверхность выпуклого многогранника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂ состоит из восьми треугольных граней <i>A_iB_jC_k</i>, где <i>i, j, k</i> меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке <i>O</i> касается всех этих граней. Докажите, что точка <i>O</i> и середины трёх отрезков <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i><sub>2</sub&g...

У повара в подчинении десять поварят, некоторые из которых дружат между собой. Каждый рабочий день повар назначает одного или нескольких поварят на дежурство, а каждый из дежурных поварят уносит с работы по одному пирожному каждому своему недежурящему другу. В конце дня повар узнает количество пропавших пирожных. Сможет ли он за 45 рабочих дней понять, кто из поварят дружит между собой, а кто нет?

Саша обнаружил, что на калькуляторе осталось ровно <i>n</i> исправных кнопок с цифрами. Оказалось, что любое натуральное число от 1 до 99999999 можно либо набрать, используя лишь исправные кнопки, либо получить как сумму двух натуральных чисел, каждое из которых можно набрать, используя лишь исправные кнопки. Каково наименьшее <i>n</i>, при котором это возможно?