Косухин О.Н. — олимпиадные задачи по математике для 9-10 класса
Докажите, что в таблице 8×8 нельзя расставить натуральные числа от 1 до 64 (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата 2×2 вида <img align="middle" src="/storage/problem-media/65205/problem_65205_img_2.png"> было выполнено равенство |<i>ad – bc</i>| = 1.
Поверхность выпуклого многогранника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub> состоит из восьми треугольных граней <i>A<sub>i</sub>B<sub>j</sub>C<sub>k</sub></i>, где <i>i, j, k</i> меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке <i>O</i> касается всех этих граней. Докажите, что точка <i>O</i> и середины трёх отрезков <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub&g...
У повара в подчинении десять поварят, некоторые из которых дружат между собой. Каждый рабочий день повар назначает одного или нескольких поварят на дежурство, а каждый из дежурных поварят уносит с работы по одному пирожному каждому своему недежурящему другу. В конце дня повар узнает количество пропавших пирожных. Сможет ли он за 45 рабочих дней понять, кто из поварят дружит между собой, а кто нет?
Саша обнаружил, что на калькуляторе осталось ровно <i>n</i> исправных кнопок с цифрами. Оказалось, что любое натуральное число от 1 до 99999999 можно либо набрать, используя лишь исправные кнопки, либо получить как сумму двух натуральных чисел, каждое из которых можно набрать, используя лишь исправные кнопки. Каково наименьшее <i>n</i>, при котором это возможно?