Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1. Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x1 рационально.
{an} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за x идёт 1 – |1 – 2x|. а) Докажите, что если a1 рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая. б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то a1 рационально.