Задача № 216706
Обозначим через S(n, k) количество не делящихся на k коэффициентов разложения многочлена (x + 1)n по степеням x. а) Найдите S(2012, 3). б) Докажите, что S(20122011, 2011) делится на 2012.
Ушаков В. Г. — олимпиадные задачи по математике для 4-11 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216698
В треугольнике ABC высоты или их продолжения пересекаются в точке H, а R – радиус его описанной окружности. Докажите, что если ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C, то AH + BH ≥ 2R.
Задача № 215515
Команда из n школьников участвует в игре: на каждого из них надевают шапку одного из k заранее известных цветов, а затем по свистку все школьники одновременно выбирают себе по одному шарфу. Команда получает столько очков, у скольких её участников цвет шапки совпал с цветом шарфа (шарфов и шапок любого цвета имеется достаточное количество; во время игры каждый участник не видит своей шапки, зато видит шапки всех остальных, но не имеет права выдавать до свистка никакую информацию). Какое наибольшее число очков команда, заранее наметив план действий каждого её члена, может гарантированно получить...
Задача № 211346
Найдите наименьшее натуральноеn, для которого числоnnне является делителем числа 2008!.
Задача № 173664
а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделите молоко на две равные части. б) Решите общую задачу: при каких a и b можно разделить пополам a + b литров молока, пользуясь лишь сосудами в a литров, b литров и a + b литров? За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.