Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.
Пусть 1 + x + x² + ... + xn–1 = F(x)G(x), где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы (n > 1). Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде (1 + x + x² + ... + xk–1)T(x), где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1 (k > 1).
В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются непохожими, если они различаются не менее, чем по 51 признаку. а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений. б) А может ли быть ровно 50?
Аня, Боря и Витя сидят по кругу за столом и едят орехи. Сначала все орехи у Ани. Она делит их поровну между Борей и Витей, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит имеющиеся у него орехи поровну между соседями, а остаток съедает. Орехов много (больше 3). Докажите, что: a) хотя бы один орех будет съеден; б) все орехи не будут съедены.