Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
а) Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A1A2A3...An. Рассматриваются углы AiOAj при всевозможных парах (i, j) (i, j – различные натуральные числа от 1 до n). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере n – 1 не острых (прямых, тупых или развёрнутых) углов.б) То же для выпуклого многогранника, имеющего n вершин.
Рассматриваются 4(N – 1) граничных клеток таблицы размером N×N. Нужно вписать в эти клетки последовательные 4(N – 1) целых чисел так, чтобы сумма чисел в вершинах любого прямоугольника со сторонами, параллельными диагоналям таблицы, в том числе и в "вырожденных" прямоугольниках – диагоналях, равнялась одному и тому же числу (для прямоугольников суммируются четыре числа, для диагоналей – два числа). Возможно ли это? Рассмотрите случаи: а) N = 3; б) N = 4; в) N = 5.