Канель-Белов А.Я. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3-4 с решениями
Функции <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через <i>m</i> число пар (<i>x, y</i>), для которых
<i>f</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>y</i>), через <i>n</i> – число пар, для которых <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(<i>y</i>), а через <i>k</i> – число пар, для которых <i>g</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>y</i>). Докажите, что 2<i>m ≤ n + k</i>.
Окружность <i>S</i><sub>1</sub>, проходящая через вершины <i>A</i> и <i>B</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>D</i>. Окружность <i>S</i><sub>2</sub>, проходящая через вершины <i>B</i> и <i>C</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>E</i> и окружность <i>S</i><sub>1</sub> вторично в точке <i>F</i>. Оказалось, что точки <i>A, E, D, C</i> лежат на окружности <i>S</i><sub>3</sub> с центром <i>O</i>. Докажите, что угол <i>BFO</i> – прямой.
Пусть $l_a$, $l_b$ и $l_c$ – длины биссектрис углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $m_a$, $m_b$ и $m_c$ – длины соответствующих медиан. Докажите, что $$ \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} +\frac{l_c}{m_c} > 1.$$
а) Известно, что область определения функции <i>f</i>(<i>x</i>) – отрезок [–1, 1] и <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = – <i>x</i> при всех <i>x</i>, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции <i>f</i>(<i>x</i>). б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал (–1, 1)? Вся числовая ось?
Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? (Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.)
На прямой стоят две фишки, слева – красная, справа – синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю – слева?
Натуральные числа от 1 до <i>n</i> расставляются в ряд в произвольном порядке. Расстановка называется <i>плохой</i>, если в ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке убывания. Остальные расстановки называются <i>хорошими</i>. Докажите, что количество хороших расстановок не превосходит 81<sup><i>n</i></sup>.
Существует ли натуральное число, делящееся на 1998, сумма цифр которого меньше 27?
Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).
Существует ли выпуклое тело, отличное от шара, ортогональные проекции которого на некоторые три попарно перпендикулярные плоскости являются кругами?
Али-Баба и разбойник делят клад, состоящий из 100 золотых монет, разложенных в 10 кучек по 10 монет. Али-Баба выбирает 4 кучки, ставит около каждой из них по кружке, откладывает в каждую кружку по несколько монет (не менее одной, но не всю кучку). Разбойник должен как-то переставить кружки, изменив их первоначальное расположение, после чего монеты высыпаются из кружек в те кучки, около которых оказались кружки. Далее Али-Баба снова выбирает 4 кучки из 10, ставит около них кружки, и т. д. В любой момент Али-Баба может уйти, унеся с собой любые три кучки по выбору. Остальные монеты достаются разбойнику. Какое наибольшее число монет сможет унести Али-Баба, если разбойник тоже старается получить побольше монет?
Для какого наибольшего<i>n</i>можно придумать две бесконечные в обе стороны последовательности<i>A</i>и<i>B</i>такие, что любой кусок последовательности<i>B</i>длиной<i>n</i>содержится в<i>A</i>,<i>A</i>имеет период 1995, а<i>B</i>этим свойством не обладает (непериодична или имеет период другой длины)?<font size="-1">Комментарий. Последовательности могут состоять из произвольных символов. Речь идет о минимальном периоде.</font>
На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.
Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины <i>A</i> с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину <i>A</i>.
Докажите, что в пространстве существует такое расположение 2001 выпуклого многогранника, что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а каждые два касаются друг друга (то есть имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).
Можно ли расположить бесконечное число равных выпуклых многогранников в слое, ограниченном двумя параллельными плоскостями, так чтобы ни один многогранник нельзя было вынуть из слоя, не сдвигая остальных?
Докажите, что первые цифры чисел вида 2<sup>2<sup>n</sup></sup> образуют непериодическую последовательность.
На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая лунка. По лугу прыгает кузнечик. Перед каждым прыжком он выбирает вершину и прыгает по направлению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния до этой вершины.
Сможет ли кузнечик попасть в лунку?
Даны две таблицы <i>A</i> и <i>B</i>, в каждой <i>m</i> строк и <i>n</i> столбцов. В каждой клетке каждой таблицы записано одно из чисел 0 или 1, причём в строках таблиц числа не убывают (при движении по строке слева направо), и в столбцах таблиц числа не убывают (при движении по столбцу сверху вниз). Известно, что при любом <i>k</i> от 1 до <i>m</i> сумма чисел в верхних <i>k</i> строках таблицы <i>A</i> не меньше суммы чисел в верхних <i>k</i> строках таблицы <i>B</i>. Известно также, что всего в таблице <i>A</i> столько же единиц, сколько в таблице <i>B</i>. Докажите, что при любом <i>l</i> от 1 до <i>n</i> сумма чисел в...
Докажите, что у выпуклого 10<i>n</i>-гранника найдётся <i>n</i> граней с одинаковым числом сторон.
Для каждого целого неотрицательного числа <i>i</i> определим число <i>M</i>(<i>i</i>) следующим образом: запишем число <i>i</i> в двоичной форме; если число единиц в этой записи чётно, то <i>M</i>(<i>i</i>) = 0, а если нечётно – то 1 (первые члены этой последовательности: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ... ).
а) Рассмотрим конечную последовательность <i>M</i>(0), <i>M</i>(1), ... , <i>M</i>(1000). Докажите, что число членов этой последовательности, равных своему правому соседу, не меньше 320.
б) Рассмотрим конечную последовательность <i>M</i>(0), <i>M</i>(1), ..., <i>M</i>(1000000). Докажите, что число таких членов последовательности, что &...
На доске написано несколько целых положительных чисел: <i>a</i><sub>0</sub>, <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... , <i>a<sub>n</sub></i>. Пишем на другой доске следующие числа: <i>b</i><sub>0</sub> – сколько всего чисел на первой доске, <i>b</i><sub>1</sub> – сколько там чисел, больших единицы, <i>b</i><sub>2</sub> – сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа <i>c</i><sub>0</sub>, <i>c</i><sub>1</sub>, <i>c</i><sub>2</sub>, ... , построенные по ч...
Дана функция <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98421/problem_98421_img_2.gif"> , где трёхчлены <i>x</i>² + <i>ax + b</i> и <i>x</i>² + <i>cx + d</i> не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
2) <i>f</i>(<i>x</i>) представима в виде: <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i><sub>1</sub>(<i>f</i><sub>2</sub>(...<i>f</i><sub><i>n</i>–1</sub>(<i>f<sub>n</sub></i>(<i>x</i>))...)), где каждая из функций <i>f<sub>i</sub>...
Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает оценку – число <i>Q</i> – показатель его умственных способностей (чем больше <i>Q</i>, тем больше способности). За <i>рейтинг</i> страны принимается среднее арифметическое значений <i>Q</i> всех жителей этой страны.
а) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б. Покажите, что при этом у обеих стран мог вырасти рейтинг.
б) После этого группа граждан страны Б (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из А) эмигрировала в страну А. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?
в) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б, а группа граждан Б – в страну В. В результате этого рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После э...
а) На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая – только одним гвоздём?
б) Тот же вопрос про правильные пятиугольники.