Задача № 210749
Рассмотрим 5 точекA,B,C,D,Eтак чтоABCD- параллелограмм,BCEDлежат на одной окружности.A∈l, прямаяlпересекает внутренность [DC] вFи прямуюBCвG. ПустьEF=EG=EC. Доказать, чтоl- биссектриса углаDAB.
Канель-Белов А.Я. — олимпиадные задачи по математике - сложность 5 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 210748
Даны числаа1, ...,аn. Для 1 ≤i≤nположим di = MAX { aj | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { aj | i ≤ j ≤ n } d = MAX { di | 1 ≤ i ≤ n } а) Доказать, что для любыхx1≤x2≤ ... ≤xnвыполняется неравенство MAX { |xi - ai| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2. б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {xi}i=1...n
Задача № 209940
Даны два правильных тетраэдра с ребрами длины , переводящихся один в другой при центральной симметрии. Пусть ϕ – множество середин отрезков, концы которых принадлежат разным тетраэдрам. Найдите объем фигуры ϕ .
Задача № 209667
Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника m×n числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.