Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
На прямой стоят две фишки, слева – красная, справа – синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю – слева?
Можно ли найти восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?
Существуют ли такие три квадратных трёхчлена, что каждый из них имеет корень, а сумма любых двух из них корней не имеет?
На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2. Найдите произведение чисел, записанных на доске вечером 1999-го дня.
Игра происходит на квадрате клетчатой бумаги 9×9. Играют двое, ходят по очереди. Начинающий игру ставит в свободные клетки крестики, его партнер – нолики. Когда все клетки заполнены, подсчитывается количество К строк и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов,и количество Н строк и столбцов, в которых ноликов больше, чем крестиков. Разность В = К – Н считается выигрышем игрока, который начинает. Найдите такое значение B, что 1) первый игрок может обеспечить себе выигрыш не меньше B, как бы ни играл второй игрок; 2) второй игрок всегда может добиться того, что первый получит выигрыш не...
Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает оценку – число Q – показатель его умственных способностей (чем больше Q, тем больше способности). За рейтинг страны принимается среднее арифметическое значений Q всех жителей этой страны. а) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б. Покажите, что при этом у обеих стран мог вырасти рейтинг. б) После этого группа граждан страны Б (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из А) эмигрировала в страну А. Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли? в) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б, а гр...
На клетчатой доске 5×5 расставили максимальное число шахматных коней так, чтобы они не били друг друга. Докажите, что такая расстановка единственна.
Можно ли бумажный круг с помощью ножниц перекроить в квадрат той же площади? (Разрешается сделать конечное число разрезов по прямым линиям и дугам окружностей.)
Двое играют в крестики-нолики на доске 10×10 по следующим правилам. Сначала они заполняют крестиками и ноликами всю доску, ставя их по очереди (начинающий игру ставит крестики, его партнер – нолики). Затем подсчитываются два числа: K – число пятерок подряд стоящих крестиков и H – число пятерок подряд стоящих ноликов. (Считаются пятерки, стоящие по горизонтали, по вертикали и параллельно диагонали; если подряд стоят шесть крестиков, то это даёт две пятерки, если семь, то три и т. д.) Число K – H считается выигрышем первого игрока (проигрышем второго). а) Существует ли у первого игрока беспроигр...
На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой). Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?
Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, но большинство (не меньше 80%) – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)
Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)
На отрезке [a, b] отмечено несколько синих и красных точек. Две точки одного цвета, между которыми нет отмеченных точек, разрешается стереть. Разрешается также отметить две точки одного цвета, красные или синие, так, чтобы между ними не было других отмеченных точек. Первоначально было отмечено две точки: a – синяя и b – красная. Можно ли сделать несколько разрешенных пребразований так, чтобы в результате было опять две отмеченные точки: a – красная и b – синяя?