Грибалко А.В. — олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями

Пять друзей подошли к реке и обнаружили на берегу лодку, в которой могут поместиться все пятеро. Они решили покататься на лодке. Каждый раз с одного берега на другой переправляется компания из одного или нескольких человек. Друзья хотят организовать катание так, чтобы каждая возможная компания переправилась ровно один раз. Получится ли у них это сделать?

В клетках квадратной таблицы <i>n</i> × <i>n</i>, где <i>n</i> > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до <i>n</i>² так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на <i>n</i>, – в разных строках и в разных столбцах. При каких <i>n</i> это возможно?

В левой нижней клетке доски 100×100 стоит фишка. Чередуя горизонтальные и вертикальные ходы в соседнюю по стороне клетку (первый ход горизонтальный), она дошла сначала до левой верхней клетки, а потом до правой верхней. Докажите, что найдутся две такие клетки $A$ и $B$, что фишка не менее двух раз делала ход из $A$

в $B$.

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.

Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

а) Есть неограниченный набор карточек со словами "<i>abc</i>", "<i>bca</i>", "<i>cab</i>". Из них составляют слово по такому правилу. В качестве начального слова выбирается любая карточка, а далее на каждом шаге к имеющемуся слову можно либо приклеить карточку слева или справа, либо разрезать слово в любом месте (между буквами) и вклеить карточку туда. Можно ли так составить палиндром? б) Есть неограниченный набор красных карточек со словами "<i>abc</i>", "<i>bca</i>", "<i>cab</i>" и синих карточек со словами "<i>cba</i>", "<i>acb</i>", "<i>bac</i>". Из них по тем же правилам составили палиндром...

В левом нижнем углу клетчатой доски <i>n</i>&times<i>n</i> стоит конь. Известно, что наименьшее число ходов, за которое конь может дойти до правого верхнего угла, равно наименьшему числу ходов, за которое он может дойти до правого нижнего угла. Найдите <i>n</i>.