Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Наnкарточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которыхравно 1или –1.За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всехn чисел,если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел наа) любыхтрёх карточках;б) любыхтрёх карточках, лежащих подряд? (Здесьn —натуральное число,большее 3).
Квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c таков, что уравнение f(x) = x не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение f(f(x)) = x также не имеет вещественных корней.
Сумма n положительных чисел x1, x2, x3, ..., xn равна 1. Пусть S – наибольшее из чисел Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях x1, x2, ..., xn оно достигается?
а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье? б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством? в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа. Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма 5 + 7 делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма 107 + 5 делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма 7 + 107 де...
Пусть p – произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел 1 – x и 1 + x равна p.
а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это. б) Из любых 2n – 1 целых чисел можно выбрать n, сумма которых делится на n. Докажите это.
В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы. а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены. б) Докажите, что можно взять c = 4. в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для c = 3. г) Постройте пример, показывающий, что при c > 3 утверждение неверно.
а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности. б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.