Задача № 1983319 класс10 класс11 класс4 / 5
а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть fij означает число различных путей, идущих из порта i в порт j. Докажите неравенство f14f23 ≥ f13f24. б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (по кругу в этом порядке), то f16f25f34 + f15f24f36 + f14f26f35 ≥ f16f24f35 + f1...
Задача № 1980998 класс9 класс10 класс11 класс4 / 5
В королевстве 16 городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в каждый, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более пяти дорог. а) Докажите, что это возможно. б) Докажите, что если в формулировке заменить число 5 на число 4, то желание короля станет неосуществимым.
Задача № 1980747 класс8 класс9 класс10 класс2 / 5
В нашем распоряжении имеются "кирпичи", имеющие форму, которая получается следующим образом: приклеиваем к одному единичному кубу по трём его граням, имеющим общую вершину, ещё три единичных куба, так что склеиваемые грани полностью совпадают. Можно ли сложить прямоугольный параллелепипед 11×12×13 из таких "кирпичей"?
Задача № 1980738 класс9 класс10 класс3 / 5
На стене висят двое правильно идущих совершенно одинаковых часов. Одни показывают московское время, другие – местное. Минимальное расстояние между концами их часовых стрелок равно m, а максимальное – M. Найдите расстояние между центрами этих часов.
Задача № 1980437 класс8 класс9 класс10 класс2 / 5
Дано 27 кубиков одинакового размера: 9 красных, 9 синих и 9 белых. Можно ли сложить из них куб таким образом, чтобы каждый столбик из трёх кубиков содержал кубики ровно двух цветов? (Рассматриваются столбики, параллельные всем ребрам куба, всего 27 столбиков.)
Задача № 1980148 класс9 класс10 класс3 / 5
В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии одного человека. В партячейке не может быть меньше трёх человек. Возвращаться к какому-либо из прежних составов партячейки запрещено уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава ячейки реализованы?
Задача № 1980138 класс9 класс10 класс2 / 5
Даны 1000 линейных функций: fk(x) = pkx + qk (k = 1, 2, ..., 1000). Нужно найти значение их композиции f(x) = f1(f2(f3(...f1000(x)...))) в точке x0. Докажите, что это можно сделать не более чем за 30 стадий, если на каждой стадии можно параллельно выполнять любое число арифметических операций над парами чисел, полученных на предыдущих стадиях, а на первой стадии используются числа p1, p2, ..., p1000, q1, q2, ..., q1000, x0.
Задача № 1980107 класс8 класс9 класс10 класс2 / 5
Можно ли провести в каждом квадратике на поверхности кубика Рубика диагональ так, чтобы получился несамопересекающийся путь?
Задача № 1980008 класс9 класс10 класс2 / 5
Можно ли нарисовать на поверхности кубика Рубика такой замкнутый путь, который проходит через каждый квадратик ровно один раз (через вершины квадратиков путь не проходит)?
Задача № 1979237 класс8 класс9 класс10 класс2 / 5
Имеется два трёхлитровых сосуда. В одном 1 л воды, в другом – 1 л двухпроцентного раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного сосуда в другой, после чего перемешивать. Можно ли за несколько таких переливаний получить полуторапроцентный раствор в том сосуде, в котором вначале была вода?
Задача № 1793217 класс8 класс9 класс10 класс3 / 5
Квадратная комната разгорожена перегородками на несколько меньших квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты – целое число. Докажите, что сумма длин всех перегородок делится на 4.
Задача № 1745697 класс8 класс9 класс10 класс3 / 5
Прямоугольная шоколадка размером 5×10 разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каждый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый отломит квадратную дольку (без углублений),а) проигрывает;б) выигрывает.Кто из играющих может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр?
Задача № 1738718 класс9 класс10 класс3 / 5
На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.
Задача № 1349767 класс8 класс9 класс10 класс11 класс3 / 5
Двое бросают монету: один бросил ее 10 раз, другой – 11 раз. Чему равна вероятность того, что у второго монета упала орлом большее число раз, чем у первого?