Задача № 197916
Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?
Гуревич Г.А. — олимпиадные задачи по математике
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 179304
В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности: а) набор цифр 1234; 3269; б) вторично набор 1975; в) набор 8197?
Задача № 179258
Имеется 100-значное число, состоящее из единиц и двоек. Разрешается в любых десяти последовательных цифрах поменять местами первые пять с пятью следующими. Два таких числа называютсяпохожими, если одно из них получается из другого несколькими такими операциями. Какое наибольшее количество попарно непохожих чисел можно выбрать?
Задача № 173795
Окружность разбита точкамиA1,A2,...,Anнаn равныхдуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дугиA2A6иA6A10одинаково окрашены.)Докажите, что если для каждой точки разбиения Ak можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом Ak, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай,...
Задача № 173739
Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1, 9,7, 3,иплохим —в противном случае. (Например, число197 639 917 —плохое, а116 519 732 —хорошее.) Докажите, что существует такое натуральноечисло n,что среди всехn-значных чисел(от 10n – 1до10n – 1)больше хороших, чем плохих.Постарайтесь найти возможно меньшее такое n.