Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладётся в её конец. Через некоторое число минут после включения конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите а) наименьшее такое число, б) все такие числа.
В таблице размера n×n клеток: две противоположные угловые клетки – чёрные, а остальные – белые. Какое наименьшее количество белых клеток достаточно перекрасить в чёрный цвет, чтобы после этого с помощью преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать чёрными все клетки таблицы?
Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений 4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007. Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
Каждые две из шести ЭВМ соединены своим проводом. Укажите, как раскрасить каждый из этих проводов в один из пяти цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило пять проводов разного цвета.
P и Q – подмножества множества выражений вида (a1, a2, ..., an), где ai – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа k (таких выражений всего kn). Для каждого элемента (p1, ..., pn) множества P и каждого элемента (q1, ..., qn) множества Q существует хотя бы один такой номер m, что pm = qm. Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из kn–1 элементов для а) k = 2 и любого натурального n; б) n = 2 и любого натурального k > 1; в) произвольного натурального n и произвольного натурального k > 1.
По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел a, b, c, d произведение чисел a – d и b – c отрицательно, то числа b и c можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.
Каждые два из n блоков ЭВМ соединены проводом. Можно ли каждый из этих проводов покрасить в один из n – 1 цветов так, чтобы от каждого блока отходил n – 1 провод разного цвета, если а) n = 6; б) n = 13?