Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Пусть ABC – остроугольный треугольник, CC1 – его биссектриса, O – центр описанной окружности. Точка пересечения прямой OC1 с перпендикуляром, опущенным из вершины C на сторону AB, лежит на описанной окружности Ω треугольника AOB. Найдите угол C.
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как2 : 3.Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это. (Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)
В куче камней, играют двое. За ход можно взять из кучи количество камней, либо равное простому делителю текущего числа камней в куче, либо равное 1. Выигрывает взявший последний камень. При каких начинающий может играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник?
В клетках квадратной таблицы 4×4 расставлены знаки + и – , как показано на рисунке. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, можно менять знак в любой угловой клетке). Докажите, что, сколько бы мы ни производили таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.