Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O, причём точка O не лежит ни на одной из диагоналей этого четырёхугольника. Известно, что центр описанной окружности треугольника AOC лежит на прямой BD. Докажите, что центр описанной окружности треугольника BOD лежит на прямой AC.
Пусть ABC – остроугольный треугольник, CC1 – его биссектриса, O – центр описанной окружности. Точка пересечения прямой OC1 с перпендикуляром, опущенным из вершины C на сторону AB, лежит на описанной окружности Ω треугольника AOB. Найдите угол C.
Вписанная сфера треугольной пирамиды касается основания в точке , а боковых граней в точках , и . Прямые , , пересекают плоскость, проходящую через середины боковых рёбер пирамиды, в точках , , . Докажите, что прямая проходит через центр описанной окружности треугольника .
В куче камней, играют двое. За ход можно взять из кучи количество камней, либо равное простому делителю текущего числа камней в куче, либо равное 1. Выигрывает взявший последний камень. При каких начинающий может играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник?