Задача № 198078
На плоскости расположено 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, из них 10 синих и 10 красных. Докажите, что можно провести прямую, по каждую сторону которой лежит пять синих и пять красных точек.
Кушниренко А.Г. — олимпиадные задачи по математике для 2-10 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 178761
Имеется натуральное число n > 1970. Возьмём остатки от деления числа 2n на 2, 3, 4, ..., n. Доказать, что сумма этих остатков больше 2n.
Задача № 178758
Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.
Задача № 173610
а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это.(Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это. в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это. г) Докажите, что в...