Спивак А.В. — олимпиадные задачи по математике
Верно ли, что на графике функции <i>y = x</i>³ можно отметить такую точку <i>A</i>, а на графике функции <i>y = x</i>³ + |<i>x</i>| + 1 – такую точку <i>B</i>, что расстояние <i>AB</i> не превысит <sup>1</sup>/<sub>100</sub>?
Натуральные числа <i>a, b, c, d</i> таковы, что <i>ad – bc</i> > 1. Докажите, что хотя бы одно из чисел <i>a, b, c, d</i> не делится на <i>ad – bc</i>.
Дан куб с ребром длины <i>n</i> см. В нашем распоряжении имеется длинный кусок изоляционной ленты шириной 1 см. Требуется обклеить куб лентой, при этом лента может свободно переходить через ребро на другую грань, по грани она должна идти по прямой параллельно ребру и не свисать с грани вбок. На сколько кусков необходимо разрезать ленту, чтобы обклеить куб?
Куб размером10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков так, чтобы в каждом из 300 рядов размером1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, не хватало ровно одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.