Толпыго А.К. — олимпиадные задачи по математике

По окружности выписано 10 чисел, их сумма равна 100. Известно, что сумма каждой тройки чисел, стоящих подряд, не меньше 29.

Укажите такое наименьшее число <i>A</i>, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превышает <i>A</i>.

Окружность разбита на семь дуг так, что сумма каждых двух соседних дуг не превышает 103°.

Назовите такое наибольшее число <i>A</i>, что при любом таком разбиении каждая из семи дуг содержит не меньше <i>A</i>°.

В лес за грибами пошли 11 девочек и <i>n</i> мальчиков. Вместе они собрали  <i>n</i>² + 9<i>n</i> – 2  гриба, причём все они собрали поровну грибов.

Кого было больше: мальчиков или девочек?

Дан выпуклый восьмиугольник <i>ABCDEFGH</i>, у которого все внутренние углы равны между собой, а стороны равны через одну – <i>AB = CD = EF = GH</i>,

<i>BC = DE = FG = HA</i>  (будем называть такой восьмиугольник <i>полуправильным</i>). Проводим диагонали <i>AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB</i> и <i>HC</i>. Среди частей, на которые эти диагонали разбивают внутреннюю область восьмиугольника, рассмотрим ту, которая содержит его центр. Если эта часть – восьмиугольник, он снова является полуправильным (это очевидно); в этом случае в нём проводим аналогичные диагонали, и т. д. Если на каком-то шагу центральная фигура не является восьмиугольником, процесс заканчивается. Докажите, что если этот процесс бесконечный, то исходный вос...

В некотором королевстве было 32 рыцаря. Некоторые из них были вассалами других (вассал может иметь только одного сюзерена, причём сюзерен всегда богаче своего вассала). Рыцарь, имевший не менее четырёх вассалов, носил титул барона. Какое наибольшее число баронов могло быть при этих условиях?

(В королевстве действовал закон: "вассал моего вассала – не мой вассал".)

На шахматной доске 4×4 расположена фигура – "летучая ладья", которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход стать на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, становясь на каждое поле по разу, и вернуться на исходное поле?

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями  <i>d</i>₁, <i>d</i>₂, <i>d</i>₃, ... .  Может ли случиться, что при этом сумма   ¹/_<i>d</i>₁ + ¹/_<i>d</i>₂ + ... + ¹/<i>_{d_k}</i>   не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:

  а) общее число прогрессий конечно;

  б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимат...

Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 30×30, и в ней участвуют 20 разных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, однако, что

  1) любая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей и

  2) если фигуру сдвинуть на несколько полей, то битые поля соответственно сдвигаются (может быть, исчезают за пределы поля).

Докажите, что

  а) любая фигура <i>F</i> бьёт данное поле <i>Х</i> не более, чем с 20 полей;

  б) можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.

В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.

Доказать, что если натуральное число <i>k</i> делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.

Хозяин обещает работнику платить в среднем   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73680/problem_73680_img_2.gif">   рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального <i>n</i> выплаченная за первые <i>n</i> дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73680/problem_73680_img_3.gif">   Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.

С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:А) приписать на конце <nobr>цифру 4;</nobr> Б) приписать на конце <nobr>цифру 0;</nobr> В) разделить на 2 (если число чётно). Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А <nobr>и Б,</nobr> то получим <nobr>число 140.</nobr> а) Из числа 4 получите <nobr>число 1972.</nobr> б)* Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.

Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.

При каких <i>n</i> гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., <i>n</i> г можно разложить на три равные по массе кучки?

a) Найдите число<i>k</i>, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и<i>k</i>). б) Докажите, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замене 14 на 17 решений вообще не будет.

Существует ли такое положительное число $x > 1$, что $${x} > {x^2} > {x^3} > \ldots > {x^{100}}?$$ (Здесь ${x}$ — дробная часть числа $x$, то есть разность между $x$ и ближайшим целым числом, не превосходящим $x$.)

Учитель назвал две различные ненулевые цифры. Коля хочет составить делящееся на $7$ семизначное число, в десятичной записи которого нет других цифр, кроме этих двух. Всегда ли Коля может это сделать, какие бы две цифры ни назвал учитель?

На асфальте нарисована полоса $1\times10$ для игры в «классики». Из центра первого квадрата надо сделать 9 прыжков по центрам квадратов (иногда вперёд, иногда назад) так, чтобы побывать в каждом квадрате по одному разу и закончить маршрут в последнем квадрате. Аня и Варя обе прошли полосу, и каждый очередной прыжок Ани был на то же расстояние, что и очередной прыжок Вари. Обязательно ли они пропрыгали квадраты в одном и том же порядке?

Существует ли число, которое может быть представлено в виде $\frac1n + \frac1m$, где $m$ и $n$ натуральные, не менее чем ста способами? Ответ объясните.

Даны пять точек, расстояние между любыми двумя из них больше 2. Верно ли, что расстояние между какими-то двумя из них больше 3, если эти 5 точек расположены a) на плоскости;

б) в пространстве?

Дано натуральное число $n$. Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму

$$ Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{x}{10^{n}}\right\rfloor . $$

Найдите разность $Q\left(10^{n}\right)-Q\left(10^{n}-1\right)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

Для произвольного числа $x$ рассмотрим сумму

$$Q(x)=\lfloor x\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{x}{4}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{x}{10000}\right\rfloor.$$

Найдите разность $Q(2023) – Q(2022)$. (Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

Для каждого из девяти натуральных чисел $n, 2n, 3n, ..., 9n$ выписали на доску первую слева цифру в его десятичной записи. При этом $n$ выбрали так, чтобы среди девяти выписанных цифр количество различных цифр было как можно меньше. Чему равно это количество?

У каждого из девяти натуральных чисел $n, 2n, 3n,\ldots,9n$ выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном $n$ среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?

Имеется натуральное 1001-значное число $A$. 1001-значное число $Z$ – то же число $A$, записанное от конца к началу (например, для четырёхзначных чисел это могли быть 7432 и 2347). Известно, что $A > Z$. При каком $A$ частное $A/Z$ будет наименьшим (но строго больше 1)?